Probabilidad condicional

PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de que un evento $B$ ocurra cuando se sabe que ya ocurrió un evento $A$ se llama probabilidad condicional y se denota por MATH que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A".

EJEMPLO 1
Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?Solución:
El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y

De donde



Nótese que es la probabilidad de unaocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

EJEMPLO 2
Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezcael número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el número dos.

Solución:
El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;


(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
d = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)(6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,
E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete,(que es que es el evento que está condicionando)

E = {21 elementos, los que suman siete o más}

(6,1)
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)


A = {6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro}

A = {(1,4) (2,4) (3,4)(4,4) (5,4) (6,4)}

Luego,

AÇE = {(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}, ½AÇE½= 4 elementos

Por tanto;

p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 4/21 = 0.19048

b. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete


(6,1)
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6)(5,6) (6,6)


A = evento de que ambos números sean pares


(2,2) (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

(2,6) (4,6) (6,6)



(6,2)

AÇE = (4,4) (6,4) ½AÇE½= 6 elementos

(2,6) (4,6) (6,6)


p (A½E) = ½AÇE½/ ½E½
= 6/ 21
= 0.28571
c. E = evento de que la suma delos números que aparecen sea de por lo menos
Siete


(6,1)
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)


A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos


(2,1)
(2,2)
A = (2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
AÇE = {(2,5)},½AÇE½= 1 elemento


P (A½E) = ½AÇE½/½E½
= 1/21
= 0.04762



DISTRIBUCION BINOMIAL
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se...