Probabilidad Condicional

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee (la probabilidad de A dado B).
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tenerrelación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
*Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como PEl condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Definicion
Dado un espacio de probabilidad  y dos eventos (o sucesos)  con , la probabilidad condicional de A dado B está definida como:



Interpretación
Tomando los mundos en los que B se cumple,  se puede interpretar como la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y elevento A es tener dolor de cabeza,  sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe ydolor de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa  y el área de B representa a , formalmente se tiene que:



Propiedades
1.
1.
Es decir, si todos losque tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.
1.


Independencia de sucesos
Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta,  ó 
Puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:


En otras palabras,si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.


Exclusividad mutua

Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes.
Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si . Entonces,.
Además, si  entonces  es igual a 0.


La falacia de la probabilidad condicional
La falacia de la probabilidad condicional sebasa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad.
La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:
 (Teorema de Bayes)

Problema del ejemplo
La magnitud del error cometido con esta falacia se entiende mejor en términos deprobabilidades condicionales.
Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:
 y 
Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:
 y 
Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay unaposibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:
 y 

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:
La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:
La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:
Además, la fracción de...