Probabilidad De Dos Variables

Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

CAPÍTULO 8

Variable Aleatoria en Dos Dimensiones

Contenido del Capítulo 8.1) 8.2) 8.3) INTRODUCCIÓN. ESPACIO MUESTRAL EN DOS DIMENSIONES. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE PROBABILIDADES CONJUNTA. 8.3.1) Definiciones. 8.3.2) Propiedades. 8.3.3) Ejemplos. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDADESCONJUNTA. 8.4.1) Definiciones. 8.4.2) Propiedades. 8.4.3) Ejemplos. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN Y DE DENSIDAD CONDICIONALES. 8.5.1) Definiciones. 8.5.2) Ejemplos. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES. 8.6.1) Definiciones. 8.6.2) Ejemplos. PROBLEMAS PROPUESTOS.

8.4)

8.5)

8.6)

8.7)

Rafael Díaz

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8.1)

INTRODUCCIÓN. En el Capítulo 3 se presentaron las definiciones asociadas al concepto de una variable aleatoria. En este Capítulo se extienden esas definiciones a dos variables aleatorias que existen en forma conjunta en el espacio muestral. Muchas de aquellas definiciones pueden verse en forma generalizada no sólo para dos sino para más variables pero hay un conceptoadicional de mucha importancia, teórica y práctica, que justifica la presentación por separado de los conceptos asociados a dos variables aleatorias. Este concepto es el de relación entre las dos variables, el análisis de esa relación puede permitir llegar a la conclusión de que las variables bajo estudio son independientes. Muchos pueden ser los ejemplos de estudiar en forma conjunta eventosasociados con dos variables aleatorias. La vida diaria nos lleva a estar pendientes de nuestro peso y, cuando nos enfrentamos a una balanza, surgen modelos que explican cuál debe ser el peso adecuado a una persona que tiene nuestra altura. El estudio conjunto de las variables altura y peso de las personas puede ayudarnos a mantener una figura acorde a lo que se espera tenga una persona saludable. Enun circuito eléctrico puede ser importante estudiar la relación entre las variables corriente en el instante τ1 y corriente en el instante τ2 para entender mejor el funcionamiento de ese circuito. En un sistema de comunicaciones sujeto a interferencias de señales no deseadas (ruido) es importante conocer el grado de relación que tienen las variables mensajes enviados y mensajes recibidos paradefinir la confiabilidad del sistema.

8.2)

ESPACIO MUESTRAL EN DOS DIMENSIONES. Considere un experimento aleatorio en el cual se definen dos variables aleatorias, X e Y, mediante dos relaciones cualesquiera, según el Procedimiento 3.1 y la Definición 3.1. Para la variable aleatoria X considere entonces un conjunto SX de los posibles valores que toma esa variable. De igual forma considere unconjunto SY de los posibles valores que toma la variable Y. Definición 8.1: El espacio muestral en dos dimensiones es el resultado de tomar el producto cartesiano de los conjuntos SX y SY. ♦♦ Notas: - El espacio muestral en dos dimensiones se denotará por SXY. - La operación producto cartesiano se presenta en la Definición 2.1.10 del Apéndice 2.1 del Capítulo 2. - Tanto la variable X como la variableY pueden ser discretas o continuas. - La Ecuación 8.1 define el conjunto SXY a partir de los conjuntos SX y SY.

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S XY = {( x, y ) / x ∈ S X ∧ y ∈ S Y }

(ec. 8.1)

La Figura 8.1 presenta el espacio muestral en dos dimensiones para dos variables aleatorias X eY, definidas en los intervalos (x1, x2) y (y1, y2), respectivamente. Otro ejemplo sería todo el plano XY, en este caso cada una de las variables puede tomar cualquier valor real. Y y2

y1

x1

x2

X

Figura 8.1:Ejemplo de un Espacio Muestral en Dos Dimensiones. Dentro del espacio muestral se definen eventos que involucran a ambas variables aleatorias o a una de ellas. El siguiente...