Probabilidad estadistica

PROBLEMAS
1.-En una universidad se ha observado que el 60 % de los estudiantes que se matriculan lo hacen en una carrera de Ciencias, mientras que el otro 40 % lo hacen en carreras de Humanidades. Si un determinado día se realizan 20 matrículas, calcular la probabilidad de que:
1. haya igual número de matrículas en Ciencias y en Humanidades;
2. el número de matrículas en Ciencias sea menor queen Humanidades;
3. haya al menos 8 matrículas en Ciencias;
4. no haya más de 12 matrículas en Ciencias.
P (x = k) = . 0,4k . (1 – 0,4)20-k , para todo k = 0, …., 20.
1. La probabilidad de que haya igual número de matrículas es:
P (x = 10) = . 0,410 . (1 – 0,4)20-10= 0,11714

2. Para calcular la probabilidad de que el número de matrículas en Ciencias sea menor que el número dematrículas en Humanidades debe obtenerse:
P (x > 10) = 1 – Fx (10) = 1- 0,8725 = 0,1275:
3. La probabilidad de que haya al menos 8 matrículas en Ciencias es equivalente a la probabilidad de que haya como máximo 12 matrículas en Humanidades. Por lo tanto:
P (x ≤ 12) = Fx (12) = 0,9790.
4. La probabilidad de que no haya más de 12 matrículas en Ciencias es:

P (x ≥ 8) = 1 –Fx (7) = 1- 0,4159 = 0,5851.


2.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:
1. Los cinco individuos.
2. Al menos tres.
3. Sólo dos.
4. Al menos uno.

SoluciónEstamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dos situaciones que la persona esté viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerar los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~ B(5, 0,6).
P (X=x) = 0,6x 0,45-x x= 0,1,2,3,4,5
1. Debemos calcular P(X = 5)
P (X = 5)0,65 0,40 = 0,07776
2.Debemos calcular P(X ≥3), o lo que es lo mismo,
1– P(X < 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)
= 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304 = 0,68256
3. P(X = 2) = 0,2304
4. P(X ≥1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,01024 = 0,98976

3.- Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo varón es 0,51. Hallar la probabilidad de que una familia con seis hijos tenga:
1. Por lo menos un niño.
2.Por lo menos una niña.
Solución
Si X es la variable número de hijos varones en una familia de seis hijos, estamos frente a una variable binomial con
n = 6 y p = 0,51.
1. Debemos calcular P( X ≥ 1) = 1 – P( X = 0)
1− P (X = 0)1 − (0,51)0 (0,49)6 = 0,9862
2. Debemos calcular P(X≤5) = 1 – P(X = 6)

1-p(x=6) = 1- (0,51)6 (0,49)0 = 0,9824

4.- Cada muestra de airetiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la molécula rara.
SOLUCIÓN:
Sea X=número de muestras de aire que contiene la molécula rara en la siguientes 18 muestras analizadas. Entonces X esuna variable aleatoria binomial con p=0,1 y n=18. Por lo tanto,
P(X=2)= (0,2 )2 ( 0,9)16

Ahora bien = (18!/ [2!6! ])= 18 (17) / 2 = 153. Por lo tanto,
P (x=2) = 153 (0,1)2 (0,9)16 =0,284
5.-Un avión de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistemaprimario falle. Durante una hora de operación la probabilidad de que una falle en la computadora primaria(o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente,
(a) ¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas?...