Probabilidad Y Estadistica

Probabilidad Condicional
Sabemos que a todo posible resultado de un experimento se le puede asociar una probabilidad de ocurrencia. Si se considera el llenado de botellas de 600 ml, se pueden analizar varios eventos como son: lograr que la cantidad de líquido vertido en cada botella se encuentre dentro de los límites especificados, = { ; 590 ml < < 610 ml}, que la máquina de llenado se encuentrebien calibrada, que se cumpla con la producción diaria, etc. Cada evento tendrá una probabilidad de ocurrencia que dependerá, en principio, de la calidad del proceso de producción. Sin embargo, resulta claro que la ocurrencia de alguno de estos eventos puede afectar a los otros, por ejemplo si se sabe que la máquina de llenado está mal calibrada será menos probable que las botellas contengan lacantidad de líquido esperada, o que se logré cubrir la producción diaria.

Entonces, la probabilidad de ocurrencia de un evento puede cambiar cuando existe certeza en la ocurrencia de otro evento . Esta probabilidad es conocida como probabilidad condicional, se denota como ( | ) y se lee “probabilidad de dado ”.

Definición La probabilidad condicional, para dos eventos cualesquiera siguienteecuación: ( | )= Donde ( ∩ ) denota la probabilidad de que los eventos y ( ∩ ) ( )

y

con

( ) > 0, se calcula mediante la

ocurran al mismo tiempo.

Un simple despeje de la ecuación anterior nos lleva a la regla de la multiplicación.

Regla de la multiplicación Al despejar la ecuación de la probabilidad condicional obtenemos una forma de calcular la probabilidad de que dos eventosocurran al mismo tiempo ( ∩ )= ( | ) ( )= ( | ) ( )

EJEMPLOS En cierta escuela superior, 25% de los hombres y 10% de las mujeres son estudiantes de ingeniería. De la población total de estudiantes las mujeres constituyen el 60%.

a) Si se selecciona un estudiante al azar y es hombre, determine la probabilidad de que estudie ingeniería.

Para resolver este tipo de ejemplos se pueden utilizarárboles de probabilidad. En la siguiente

figura se muestra el árbol asociado a este ejemplo. Observa que la suma de las probabilidades de las ramas de un mismo vértice es igual a 1. Para entender adecuadamente la estructura del árbol vamos a describirlo. Primero observamos la probabilidad de que un estudiante sea mujer, P(M), y la probabilidad de que sea hombre, P(H). Dependiendo del camino quesigamos tendremos la certeza de haber elegido a una mujer o a un hombre, por eso las siguientes ramas ya son probabilidades condicionales, por ejemplo la probabilidad de que estudie ingeniería dado que es mujer, P(I|M), y la probabilidad de que no estudie ingeniería dado que es mujer, P(I’|M). Cuando el árbol ya tiene la información disponible estamos listos para multiplicar las probabilidades delas ramas. De acuerdo a la regla de la probabilidad total obtendremos la probabilidad de la intersección de los eventos, por ejemplo la probabilidad de que estudie ingeniería y sea mujer, P(IM).

Ahora ya estamos listos para contestar la pregunta (a). Nos dicen que el estudiante elegido es hombre (certeza) y queremos la probabilidad de que estudie ingeniería, entonces buscamos P(I|H) = 0.25.b) Si se selecciona un estudiante al azar, determine la probabilidad de que sea hombre y estudie ingeniería. En este caso nos piden la intersección de dos eventos, hombre y estudie ingeniería, por lo tanto buscamos P(IH) = (0.40)(0.25) =0.10

Otra regla importante para el cálculo de probabilidades es conocida como regla de la probabilidad total.

Regla de la probabilidad total Si , ,…, sonmutuamente excluyentes y exhaustivos, entonces para todo evento A tenemos lo siguiente: ( )= ( ∩ )

EJEMPLO En cierta escuela superior, 25% de los hombres y 10% de las mujeres son estudiantes de ingeniería. De la población total de estudiantes las mujeres constituyen el 60%. a) Si se selecciona un estudiante al azar, determine la probabilidad de que estudie ingeniería. Para resolver esta...