Probabilidad y Estadistica


Pruebas de Hipótesis
introducción:
Otra manera de hacer inferencia es haciendo una afirmación acerca del valor que el parámetro de la población bajo estudio puede tomar. Esta afirmación puede estar basada en alguna creencia o experiencia pasada que será contrastada con la evidencia que nosotros obtengamos a través de la información contenida en la muestra. Esto es a lo que llamamos Pruebade Hipótesis.

Una prueba de hipótesis comprende cuatro componentes principales:
-Hipótesis Nula
-Hipótesis Alternativa
-Estadística de Prueba
-Región de Rechazo
La Hipótesis Nula, denotada como siempre especifica un solo valor del parámetro de la población si la hipótesis es simple o un conjunto de valores si es compuesta (es lo que queremos desacreditar) La Hipótesis Alternativa, denotadacomo es la que responde nuestra pregunta, la que se establece en base a la evidencia que tenemos. Puede tener cuatro formas:
:µ = :µ " :µ "
La Hipótesis Alternativa, denotada como es la que responde nuestra pregunta, la que se establece en base a la evidencia que tenemos. Puede tener cuatro formas:
:µ = :µ > :µ <:µ ≠

Como las conclusiones a las que lleguemos se basan en una muestra, hay posibilidades de que nos equivoquemos.
-Dos decisiones correctas son posibles:
Rechazar cuando es falsa
No Rechazar cuando es verdadera.
-Dos decisiones incorrectas son posibles:
Rechazar cuando es verdadera
No Rechazar cuando es falsa.



Tamaño de los errores al tomar una decisión incorrecta enuna Prueba de Hipótesis


Verdadera

Falsa

Rechazamos
Error Tipo I
P(error Tipo I) = P(error Tipo I) = αα

Decisión Correcta

No Rechazamos

Decisión Correcta
Error Tipo II Error Tipo II
P(error Tipo II) = P(error Tipo II) = ββ

La Probabilidad de cometer un error Tipo I se conoce como Nivel de Significancia, se denota como α y es el tamaño de la región de rechazo. Elcomplemento de la región de rechazo es 1−α y es conocido como el Coeficiente de Confianza En una prueba de Hipótesis de dos colas la región de no rechazo corresponde a un intervalo de confianza para el parámetro en cuestión.
La Región de Rechazo es el conjunto de valores tales que si la prueba estadística cae dentro de este rango, decidimos rechazar la Hipótesis Nula. Su localización depende de laforma de la
Hipótesis Alternativa:
Si : µ > entonces la región se encuentra en la cola derecha de la distribución de la estadística de prueba.
Si : µ < entonces la región se encuentra en la cola izquierda de la distribución de la estadística de prueba.
Si : µ ≠ entonces la región se divide en dos partes, una parte estará en la cola derecha de la distribución de la estadística de prueba yla otra en la cola izquierda de la distribución de la estadística de prueba.
Conclusiones de una Prueba de Hipótesis:
Si rechazamos la Hipótesis Nula, concluimos que “hay suficiente evidencia estadística para inferir que la hipótesis nula es falsa”. Si no rechazamos la Hipótesis Nula, concluimos que “no hay suficiente evidencia estadística para inferir que la hipótesis nula es falsa”


: µ >: µ ≠

La Estadística de Prueba es una estadística que se deriva del estimador puntual del parámetro que estemos probando y en ella basamos nuestra decisión acerca de si rechazar o no rechazar la Hipótesis Nula.





Ejemplo:
Siempre se calcula considerando la Hipótesis Nula como si fuera verdadera.
Para el caso específico de la media poblacional µ, el estimador es µ=X cuyavarianza es .
Supondremos que conocemos la varianza poblacional es .
Hipótesis.
Nula
:µ =
Alternativa
:µ < :µ > :µ ≠
Estadística de prueba

R. Rechazo


Si nuestro propósito está en la proporción de éxitos p,...