Probabilidad

Variable Aleatoria

Concepto de variable aleatoria

Al realizar un experimento aleatorio no se puede predecir con exactitud que resultados se van a observar, sino que, como mucho, se puede describir cuales van a ser los resultados posibles y con qué probabilidad puede ocurrir cada uno de ellos.
Pero en muchas ocasiones nos interesa más que el resultado completo del experimento, unafunción real de los resultados.
Tales funciones cuyos valores dependen de los posibles resultados de un experimento aleatorio se llaman variables aleatorias. En todo proceso de observación o experimento aleatorio podemos definir una variable aleatoria asignando a cada resultado del experimento un número:
* Si el resultado del experimento es numérico porque contamos o medimos, los posibles valores dela variable coinciden con los resultados del experimento.

* Si el resultado del experimento es cualitativo, hacemos corresponder a cada resultado un número siguiendo algún criterio.
Una variable aleatoria X es una función definida sobre el espacio muestral (conjunto de los resultados de un experimento aleatorio) que toma valores en el cuerpo de los numero reales R, es decir:

Unavariable aleatoria puede ser discreta o continua según sea el rango de esta aplicación.
* Una variable aleatoria es discreta si toma un número de valores finitos o infinito numerable. Estas variables corresponden a experimentos en los que se cuenta el número de veces que ha ocurrido un suceso.

* Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo real de laforma
* (a , b)
* (a , )
* (- , b)
* (- , )
* O uniones de ellos
Por ejemplo, el peso de una persona, el tiempo de duración de un suceso etc.

Ejemplos:

1. Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:

={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
Definimos la variablealeatoria (v.a.) X como el número de caras, estamos asociando a cada suceso un número, así:

X(CCC)=3                 X(CCX)=2                 X(XXC)=1                 X(XXX)=0

2. Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral será:

={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1)(4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, entonces

X((1,1))=2                  X((3,4))=7                  X((2,6))=8                  X((5,6))=11

Variable aleatoria continúa.
En las variables continuas hay que observar que la probabilidad de que la variabletome un valor particular se considera igual a cero. Se supone que no es posible conocer el valor exacto de una variable continua, ya que medir su valor consiste en clasificarlo dentro de un intervalo.
Las variables aleatorias continuas se describen por medio de una función real de variable real, a la que se denomina función de densidad, que surge como la generalización de las curvas defrecuencias asociadas a los histogramas del experimento, cuando la amplitud de los intervalos se considera infinitamente pequeña.
Y de acuerdo a la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, por lo tanto llamaremosfunción de densidad de una variable aleatoria X a una función real:
f(x) no negativa (f(x) >= 0) tal que:

De acuerdo a lo siguiente es posible calcular la probabilidad de que X tome valores de un cierto intervalo [a, b] por integración se tiene:

Ejemplos:

1. Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de bombillas, para ello se define la v.a. X="duración de...