Probabilidad

Ejercicio 1:
Se lanzan dos dados:

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres?
Solución

Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres".

a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y loscasos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A) = 6/36=1/6

b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3
Ejercicio 2:
Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7;P(B)=0.6; P([pic] [pic][pic])=0.58.

a. ¿Son independientes A y B?
b. Si M [pic]A, ¿cuál es el valor de P([pic]/ [pic])?
Solución

a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A[pic] B ) = P( A ) · P( B )
P([pic] [pic][pic]) = P[(A[pic] B)c] = 1 - P(A[pic]B)

Por tanto, [pic]P(A[pic]B) = 1 - P([pic] [pic][pic]) = 1 -0.58 = 0.42

Por otro lado,[pic]P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42

Luego, A y B son independientes, pues [pic]P( A[pic] B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42

b. M[pic]A [pic][pic][pic][pic]. Por tanto, [pic]

Ejercicio 3:
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre elservicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
Solución

El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta lasprobabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) =
[pic]= 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 =
[pic]= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Ejercicio 4:
Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20%y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?
Solución

Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según elteorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:

P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) =
[pic]= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 =
[pic]= 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028
Ejercicio 5:
Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en laurna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra?
Solución

Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el diagrama de árbol pueden verse las configuraciones posibles delas urna, después del lanzamiento de las monedas y las urnas finales, así como las probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada en el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, se obtiene:

P(BN) = P(BN[pic]BBN) + P(BN[pic]BNN) = P(BBN) · P(BN/BBN) + P(BNN) · P(BN/BBN) =
[pic]= 3/8 · 2/3 + 3/8 · 2/3 = 1/4 + 1/4 = ½

Ejercicio 6:
Se lanzan...