Probabilidad

Probabilidad
Ernesto Mordecki 8 de junio de 2007

´ Indice
1. Experimentos aleatorios 2. Sucesos 3. Probabilidad 4. Probabilidad y Permutaciones 5. Probabilidad y Combinaciones 6. Operaciones con sucesos 7. Regla de la suma 8. Propiedades de la probabilidad 9. Probabilidad condicional 10.F´rmula de la probabilidad total o 11.F´rmula de Bayes o 12.Sucesos independientes 13.Paseo al azar ytriangulo de Pascal 14.Ley de los grandes n´ meros u 15.Bibliograf´ ıa 2 2 3 5 8 9 12 13 15 16 18 20 23 25 29

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1.

Experimentos aleatorios

Las probabilidades aparecen asociadas a los fen´menos aleatorios. Un o fen´meno aleatorio es aquel en el cual la verificaci´n de un cierto conjuno o to de condiciones determinadas conduce a un resultado entre una serie de resultados posibles. Llamamosexperimento aleatorio a ese conjunto de condiciones determinadas. Por contraposici´n, los fen´menos determ´sticos, o o o ı no aleatorios son aquellos en los que la verificaci´n de un cierto conjunto de o condiciones determinadas conduce, en forma inevitable, a un resultado fijo. Como ejemplos: tirar una moneda al aire y observar la cara que presenta al caer al piso es un experimento aleatorio(tenemos dos resultados posibles: cara y n´mero); mientras que enfriar agua hasta cero grados cent´ u ıgrados bajo presion atmosf´rica normal es un fen´meno determin´ e o ıstico (conduce inequ´ ıvocamente a la formaci´n de hielo). o

2.

Sucesos

Consideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letra griega may´scula Ω (Omega) el conjunto de todos sus resultados posibles. u Llamamosa este conjunto Ω espacio de sucesos elementales, y a sus puntos sucesos elementales o tambi´n casos posibles. Suponemos que Ω es un cone junto finito y utilizamos la letra n para designar su cantidad de elementos. Ejemplo 1. Si tiramos una moneda al aire, tenemos un experimento aleatorio con Ω = {cara, n´mero}, u y resulta n = 2. Ejemplo 2. Si tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles, Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6} y en este caso n = 6. Ejemplo 3. Si lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casos posibles, resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, que podemos representar en la siguiente tabla:

2

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4,4) (5, 4) (6, 4)

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)

(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

donde, por ejemplo, el caso (3, 4) representa el resultado correspondiente a obtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la segunda. Llamamos suceso a cada subconjunto de Ω. Designamos a los sucesos mediante las letras A, B, C, . . . con sub´ ındices o sin ellos. Los sucesos pueden teneruno o varios elementos, y tambi´n ning´n elemento. En este ultimo e u ´ caso tenemos el suceso imposible, que designamos mediante ∅. En el ejemplo 3, el conjunto A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} es un suceso, y corresponde a obtener un as en la primer tirada del dado. Los puntos que componen un suceso se llaman casos favorables para la ocurrencia de dicho suceso. El surgimientode la teor´ de la probabilidad es muy anterior a la creaıa ci´n de la teor´ de conjuntos. Por esto, desde su mismo inicio, en teor´ de la o ıa ıa probabilidad se utiliz´ (y contin´a utiliz´ndose) una terminolog´ espec´ o u a ıa ıfica, diferente de la terminolog´ utilizada en teor´ de conjuntos. En la p´gina ıa ıa a 11 se presenta una tabla de t´rminos de teor´ de conjuntos, junto con los e ıacorrespondientes t´rminos del c´lculo de probabilidades, que introducimos e a y utilizamos a lo largo de este curso. Las letras A, B, C, . . . , con ´ ındices o sin ellos, designan a los sucesos, es decir, a los subconjuntos de Ω.

3.

Probabilidad

Definici´n 1. Dado un experimento aleatorio con un espacio de n sucesos o elementales Ω, la probabilidad del suceso A, que designamos mediante P(A),...