Probabilidad

1.- LA PROBABILIDAD Y LOS JUEGOS DE AZAR
PRECURSORES
La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y car- tas, muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros estudios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban en dos problemas:
1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.
2.Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el
‘problema del reparto de apuestas’.
Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–
1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente los diferentes valores para la suma delos tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permuta- ciones de una misma combinación.
El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares problemas particulares: un juego en el que el premio esde 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el tercero 2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premiodebería ser repar- tido en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 duca- dos para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la pro- porción 4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta.
GIROLAMO CARDANO Y NICCOLO TARTAGLIA
Laprimera obra importante relacionada con el cálculo de probabilidades en juegos de azar fue el Libro de los Juegos de Azar, de Girolamo Cardano (1501–1576), escrito en 1565, aunque no publicado hasta 1663. Cardano era un jugador empedernido y su obra es más bien un manual para jugadores; contiene descripciones de juegos y las precau- ciones a tomar para que los rivales no hagan trampas, y sólo unapequeña parte está dedicada al estudio del azar: pro- blemas tales como calcular todos los resultados posibles al lanzar dos o tres dados y las frecuencias con que aparecían, hallar la probabilidad de que al lanzar un dado una serie de veces salga un determinado número al menos una vez, o cal- cular las frecuencias de los valores de la suma de las caras de una tirada de dos dados. En la resolución deestos proble- mas, Cardano trabajó con los conceptos de la definición clásica de la probabilidad, aunque no los definió. En concreto, Cardano introdujo la idea de asignar una probabilidad p entre 0 y 1 a un suceso cuyo resultado se desconoce, conside- rando el número total de resultados y el número de resultados favorables, y esbozó de una forma rudimentaria lo que ahora se conoce como la “ley delos grandes números”, al afirmar que si la probabilidad de una suceso es p, después de un número n grande de repeticiones lo más razonable es apostar a que ocurrirá alrededor de np veces. Sin embargo, Cardano no alcanzó a reconocer la importancia teórica de estos conceptos, ya que consideraba estas relaciones como meramente aritméticas, más que como una medida de la posibilidad de ocurrencia deuna suceso aleatorio.
Cardano se había ocupado previamente del problema del reparto de apuestas. En 1539 escribió que la solución de Pacioli era incorrecta porque al considerar tan sólo el número de juegos ganados por cada equipo, no contaba cuántos juegos debían ganar para hacerse con el premio; como solución propuso que si n es el número de juegos totales y a y b los juegos ganados por cada...