probabilidad

APÉNDICE A – Conjuntos
Introducción
La noción de conjunto constituye un concepto primitivo que no se definirá en este apéndice y
se presentará de modo intuitivo a través de ejemplos.
Para indicar, por ejemplo, el conjunto cuyos elementos son las vocales de nuestro
abecedario, se escribe V = { a , e , i , o , u }.
Es habitual usar letras mayúsculas para designar un conjunto. Para el ejemplose usó la
letra V.
Se observa que los elementos se escriben entre llaves, separados por comas y pueden ir en
cualquier orden. Cada elemento figura sólo una vez.
Para indicar que el elemento u pertenece al conjunto V, se escribe u ∈ V . En cambio b ∉ V ,
significa que la letra b no pertenece a V.
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. V tiene 5 elementos, por
lotanto el cardinal del conjunto V es igual a 5 y se simboliza: V = 5 .

A.1. Formas de describir un conjunto
• Descripción por extensión: se realiza nombrando todos los elementos del conjunto.
Esta descripción puede hacerse sólo cuando el cardinal del conjunto es finito.
• Ejemplo: A = { 2 , 3 , 4 , 5 }
• Descripción por comprensión: se realiza especificando o enunciando una
propiedad queidentifique a todos los elementos del conjunto. Cuando el cardinal de
un conjunto no es finito o es muy grande resulta necesario usar este tipo de
descripción.
Ejemplo: B = { x ∈ R / x < 5 } . Se lee: B es el conjunto cuyos elementos son los
números reales menores que 5.
A continuación se muestra un caso en que el conjunto puede ser expresado por
comprensión y por extensión:

C = { x / x es unnúmero natural divisor de 18 }
C = {1, 2 , 3 , 6 , 9 ,18 }
A.2. Igualdad de conjuntos
Los conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se nota A = B
Ejemplo: A = { x∈ Z / x es mayor que − 3 y menor que 5 }

B = { x ∈ Z / x es mayor o igual que − 2 y menor que 5 }

Teniendo en cuenta que Z es el conjunto de los números enteros, resulta que:

A = B = { − 2 , − 1, 0 ,1, 2 , 3, 4

}

A.3. Conjunto vacío
Se llama así al conjunto que no tiene elementos y para designarlo se utiliza el símbolo ∅ .
Ejemplo: F = { x ∈ N / x es divisor de 10 mayor que 5 y menor que 9 }
Los números naturales mayores que 5 y menores que 9 son 6, 7 y 8, y ninguno de ellos es
divisor de 10, de modo que el conjunto F no tiene elementos, ya que ningún x satisface la
condiciónespecificada.
Resulta entonces: F = ∅ .

A.4. Conjunto universal
Se denomina así al conjunto que contiene todos los posibles elementos del tema en estudio
y se simboliza con la letra U.

A.5. Representación gráfica de un conjunto
Para representar conjuntos gráficamente se suele emplear los llamados diagramas de Venn.
Ejemplo: S = {lunes , martes , miércoles , jueves , viernes }

S
lunes

martesviernes
jueves

miércole

La representación gráfica permite, como se verá en los temas que se desarrollan a
continuación, analizar con mayor claridad la relación existente entre dos o más conjuntos y
facilita la obtención de conclusiones.

A.6. Subconjunto
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice
que A es subconjunto de B y sesimboliza:

A⊆ B ó B ⊇ A
La expresión anterior se lee: “A es subconjunto de B”, “A está incluido en B”, “A está
contenido en B”, “ B incluye a A” o “B contiene a A”.
Es importante destacar que si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un
conjunto B, pero existe al menos un elemento de B que no pertenece a A, entonces se dice
que A está contenido estrictamente en B y se simboliza:A⊂ B ó B ⊃ A
Ejemplos:
•

El conjunto de los alumnos que cursan la carrera de Ingeniería Mecánica está
incluido en el conjunto de los alumnos de la Facultad de Ingeniería.

M = { x / x es alumno de la carrera Ingeniería Mecánica }
F = { x / x es alumno de la Facultad de Ingeniería }
M ⊆F ó M ⊂F
Gráficamente:

F

•

M

El conjunto de los números enteros Z está contenido en el...