Probabilidad

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

1. Una variable aleatoria X se denota hipergeometrica si presenta las siguientes condiciones:

Se toma una muestra n, sin reemplazamiento de un conjunto más grandede N elementos finitos.
K de los objetos del grupo N se clasifican como exitos y N-K como fracasos.
X cuenta el número de éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de losnúmeros enteros de 0 a n ó de 0 a K si K < n.

Su función de densidad de probabilidad para esta variable X es de la forma:

f_x (x)=(■(K@x))(■(N-K@n-x))/((■(N@n)) )x=max{n-1,0},…….,min{n,k}
K=éxitos.
N-K= fracaso.

X~ H(N, n, K)

2. Es f una función de densidad de probabilidad:

f_x (x)=≥0 ∀ x∈R SI

∑_i▒〖f_x (x) 〗 = 1 SI

Ya que por la identidad de Vandermonde(■(N@n))=∑_(x=0)^n▒(■(K@x))(■(N-K@n-x))

Cuando ambas partes se han dividido por la expresión de la izquierda, de modo que la suma es 1, entonces los términos de la suma se pueden interpretar comoprobabilidades. La distribución de probabilidad resultante es la distribución hipergeométrica.

3. VALOR ESPERADO HIPERGEOMETRICA

E(X)=∑_X▒〖xf_x (x)→〗 ∑_(X=0)^n▒〖x (■(K@x))(■(N-K@n-x))/((■(N@n)))→K∑_(X=0)^n▒(k-1)!/(x-1)!(k-x)!〗*((■(N-K@n-x)))/((■(N@n)) )→
E(X)=K∑_(X=0)^n▒(■(K-1@x-1))(■(N-K@n-x))/((■(N@n)) )

Al sustituir por y = x-1 tenemos:

E(X)=K∑_(y=0)^(n-1)▒(■(K-1@y))(■(N-K@n-1-y))/((■(N@n)))

Y al hacer
(■(N-K@n-1-y))(■((N-1)-(K-1)@n-1-y))

Y

(■(N@n))=N!/n!(N-n)!=N/n (■(N-1@n-1))

Se obtiene

E(X)=nK/N ∑_(y=0)^(n-1)▒(■(K-1@y))(■((N-1)-(K-1)@n-1-y))/((■(N-1@n-1)) )

Ytenemos que la sumatoria es igual a uno por lo que tenemos que

E(X)=nK/N

4. VARIANZA HIPERGEOMETRICA

Var(X)=∑_(x=0)^n▒〖(x-nK/N)^2 (■(K@x))(■(N-K@n-x))/((■(N@n)) ) 〗

∑_(x=0)^n▒〖x^2(■(K@x))(■(N-K@n-x))/((■(N@n)) )-2nK/N (■(K@x))(■(N-K@n-x))/((■(N@n)) )+〗 (n^2 K^2)/N^2 (■(K@x))(■(N-K@n-x))/((■(N@n)) )

Viendo que en el tercer y segundo término tenemos los valores...