probabilidad

1.- PERMUTACIONES
Cuando el problema de un conteo consiste en ordenar elementos de un conjunto se le llama permutacion del conjunto . Se clasifican en:

lineales: pertenecen a este tipo los casos en los cuales los elementos se ordenan en una fila

Circulares: Son todos aquellos casos en que los elementos deben ser colocados alrededor                                                      deun circulo en una secuencia cíclica o cerrada.

DEMOSTRACION DE LA FORMULA
El resultado de nPr es igual al numero total de formas que pueden llenarse r lugares con n elementos diferentes: el primer lugar puede llenarse de n formas diferentes ya que en este punto todos los elementos estan disponibles. El segundo lugar puede llenarse de n-1 formas diferentes con los n-1 elementos restantes.Análogamente el tercer lugar puede llenarse de n-2 formas diferentes, y asi sucesivamente.

continuando con este proceso, observamos que el lugar r puede llenarse con n-(r-1)=n-r+1 formas diferentes.

De donde, el numero total de formas esta dado por la formual:
nPr= n- (n-1)(n-2)...(n-r+1) donde r menor igual que n.

Si se multiplica el segundo miembro de esta igualdad por (n-r)! / (n-r)!nPr= n(n-1)(n-2)...(n-r+1)(n-r)! / (n-r)! = n! / (n-r)!  obtenemos la formula

nPr= n! / (n-r)! , si los n- elementos son diferentes.

Para obtener el numero total de permutaciones de n objetos tomamos de n en n elementos, en la formula anterior hacemos r=n de donde:

nPn= n! / (n-n)! = n! / 0! = 1 por definicion, tenemos:  nPn = n!




1. ¿Cuantas diferentes quintas de baloncesto puedenformarse con 7 jugadores disponibles para jugar cualquier posición?  


        nPr = n(n-1)(n-2)...(n-r+1), sustituimos

        7P5 = 7(6)(5)(4)(3)= 2520


     Se pueden formar 2520 quintas diferentes con 7 jugadores disponibles.








     2.- En una empresa cinco ejecutivos asisten a una junta donde hay siete sillas. Calcula de         
cuantas formas pueden ocupar lassillas.


    con la formula nPr= n! / (n-r)!


  sustituimos con: n=7        r=5




     7P5= 7! / (7-5)!= 7(6)(5)(4)(3)(2!) / 2! = 2520


     Las sillas se pueden ocupar de 2520 formas.






     3.- obtener cuantos numeros pueden formarse son los digitos 1,2,3,4,5 sin repetir ningun      digito.


      nPn = n


     sustituimos con n=5


     5P5= 5! =5(4)(3)(2)(1)= 120


      se pueden formar 120 numeros






     4.- obtener el valor de a) 7P3; b) 13P1; c) 4P4


        En cada ejercicio aplicamos la formula nPr= n! / /n-r)!


     a)7P3= 7! / (7-3)! = 7! / 4!= 7(6)(5)(4!) / 4! = 210


     b) 13P1= 13! / (13-1)! = 13! / 12! = 13(12!) / 12! = 13


    c) 4P4= 4! / (4-4)! = 4! / 0! = 4! / 1 = 4(3)(2)(1) = 24






    5.-Calcular el numero de permutaciones diferentes que pueden formarse con las letras de la palabra matematicas tomadas a la vez.


      P= n! / n1! n2! n3!... ng!  


     n= 11     n1= 3      n2= 2         n3= 2 


     P= 11! / 3! 2! 1!=  11(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) / 3(2)(1)    2(1)    2(1)


       = 11(5)(9)(4)(7)(6)(5)(4)


      = 1 663 200


      se puede formar 1663 200 palabras, no necesariamente de uso.




     6.- Calcular el numero de permutaciones deferentes que pueden formarse con las letras de la palabra acacia, tamadas todas a la vez.


        P= n! / n1! n2! n3!... ng!  


       n=6         n1 =3           n2= 2 


      P= 6! / 3! 2! =  6(5)(4)(3)(2)(1) / 3(2)(1)     2(1)


        = 6(5)(2)


        = 60


      Sepueden formar 60 palabras, no necesariamente de uso


    7.- Un grupo formado por 3 muchachas y 3 muchachos se van a sentar de modo qie ellas queden alternadas con ellos. Calcula de cuantas formas pueden hacerlo si:
a) se sientan en una linea recta.               b) Se sientan en una mesa circular


    a) Esto se puede hacer de 3! 3! formas diferentes.
          2(3! 3!)= 2(6)(6)=  72...