Probabilidad

Probabilidad: Definiciones y Teoremas

Introducción

El objeto de la investigación científica es obtener información suficiente para poder predecir el comportamiento del fenómeno que se está analizando. Esta predicción se realiza por medio de modelos. En la medida en que se tenga mayor y mejor información el modelo tendrá mayor validez.

El primer paso de la investigación es conocer lanaturaleza del fenómeno, es decir, si el fenómeno es determinista o aleatorio.

Siempre y cuando se pueda repetir un experimento bajo las mismas condiciones y se
obtenga los mismos resultados se estará en presencia de un fenómeno de naturaleza
determinista. Así, serán fenómenos deterministas los siguientes:
- El modelo matemático de la ley de Ohm.
- Las leyes de Kepler.
- Las leyesgravitacionales de Newton.

Ahora bien, no siempre es posible repetir un experimento bajo las mismas condiciones y, más aún, no siempre los resultados son los mismos. Esto es lo que define un fenómeno de naturaleza aleatoria. La Figura 2.1 resume la naturaleza de un experimento aleatorio y sus posibles resultados. A continuación se presentan algunos fenómenos más específicos en áreas de la ingeniería.• Demanda de energía eléctrica de una ciudad.
• Terremotos.
• Cambios climáticos.
• Especificaciones de piezas en una línea de producción.
• Transmisión de códigos binarios en un sistema de comunicaciones.
• Cambios térmicos en un reactor químico.
• Precios de las acciones de una compañía telefónica.

Definición 1.1: Un experimento aleatorio es aquel en el cual no sepuede predecir el resultado del experimento antes de realizarlo.

ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.
Si bien no es posible predecir el resultado de un experimento aleatorio, siempre debe ser posible conocer todos los resultados de ese experimento. Este hecho da pie a la definición de espacio de resultados o espacio muestral del experimento aleatorio.

Definición 1.2: El espaciomuestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento.

Definición 1.3: Un espacio muestral de un experimento aleatorio es discreto y finito si el número total de resultados de ese experimento es un número finito.

Definición 1.4: Un espacio muestral de un experimento aleatorio es discreto e infinito numerable si el número total de resultados deese experimento es un número infinito pero se pueden ordenar en una sucesión.

Definición 1.5: Un espacio muestral de un experimento aleatorio es continuo si el número total de resultados de ese experimento es un número infinito que no se pueden ordenar en una sucesión.

Observación: En un espacio muestral continuo los posibles resultados pueden asociarse al conjunto de los números reales o aun intervalo de números reales.

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio de lanzar una moneda los posibles resultados son cara y sello. Luego Ω ={cara, sello}. Este espacio muestral es discreto y finito, tiene dos posibles resultados.

Ejemplo 2: Una generalización del experimento aleatorio de lanzar una moneda es aquel donde existen sólo dos posibles resultados: verdadero o falso, éxito ofracaso, defectuoso o no defectuoso, si o no, varón o hembra, etc. En este caso, el espacio muestral es discreto y finito ya que tiene dos posibles resultados.

Ejemplo 3: En el experimento aleatorio de lanzar un dado los posibles resultados son cada una de las seis caras del dado. Luego el espacio muestral podría escribirse como Ω ={Cara i / i = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Este espacio muestral esdiscreto y finito ya que tiene seis posibles resultados.

Ejemplo 4: Considere el experimento aleatorio de observar el número de personas que entra a un banco durante un periodo de una hora. El espacio muestral para este experimento puede escribirse como
Ω ={n / n = 1, 2, ….,}
Este espacio muestral es discreto e infinito numerable.

Ejemplo 5: Considere el experimento...