Probabilidad

Probabilidad*
Ernesto Mordecki
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2 de mayo de 2007

´ Indice
1. Experimentos aleatorios y sucesos. Definici´n cl´sica de proo a babilidad 2 1.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Definici´n cl´sica de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . o a 3 2. Combinatoria yaplicaciones a la probabilidad 2.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Regla de la suma y otras propiedades de la 3.1. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . 3.2. Regla de la suma . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Propiedades de la probabilidad . . . . . . . probabilidad . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 8 9 9 10 11

4. Probabilidad condicional. F´rmula de la probabilidad total. o F´rmula de Bayes. o 13 5. Sucesos independientes 16

6. Paseo al azar sim´trico. Experimentos de Bernoulli y proe babilidades binomiales 17 6.1. Probabilidades Binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Preparadas pensando en el Programa de matem´tica de 2o a˜o deBachillerato del a n N´cleo Com´n - Reformulaci´n 2006 u u o ** Facultad de Ciencias, Centro de Matem´tica: mordecki@cmat.edu.uy a
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7. Ejercicios 8. Bibliograf´ ıa

20 24

1.
1.1.

Experimentos aleatorios y sucesos. Definici´n o cl´sica de probabilidad a
Experimentos aleatorios

Las probabilidades aparecen asociadas a los fen´menos aleatorios. Un o fen´meno aleatorio es aquelen el cual la verificaci´n de un cierto conjuno o to de condiciones determinadas conduce a un resultado entre una serie de resultados posibles. Llamamos experimento aleatorio a ese conjunto de condiciones determinadas. Por contraposici´n, los fen´menos determ´sticos, o o o ı no aleatorios son aquellos en los que la verificaci´n de un cierto conjunto de o condiciones determinadas conduce, en formainevitable, a un resultado fijo. Como ejemplos: tirar una moneda al aire y observar la cara que presenta al caer al piso es un experimento aleatorio (tenemos dos resultados posibles: cara y n´mero); mientras que enfriar agua hasta cero grados cent´ u ıgrados bajo presion atmosf´rica normal es un fen´meno determin´ e o ıstico (conduce inequ´ ıvocamente a la formaci´n de hielo). o

1.2.

SucesosConsideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letra griega may´scula Ω (Omega) el conjunto de todos sus resultados posibles. u Llamamos a este conjunto Ω espacio de sucesos elementales, y a sus puntos sucesos elementales o tambi´n casos posibles. Suponemos que Ω es un cone junto finito y utilizamos la letra n para designar su cantidad de elementos. Ejemplo 1. Si tiramos una monedaal aire, tenemos un experimento aleatorio con Ω = {cara, n´mero}, u y resulta n = 2. Ejemplo 2. Si tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y en este caso n = 6.

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Ejemplo 3. Si lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casos posibles, resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, que podemos representar en la siguiente tabla: (1, 1)(2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

donde, por ejemplo, el caso (3, 4) representa el resultado correspondiente a obtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la segunda. Llamamos suceso acada subconjunto de Ω. Designamos a los sucesos mediante las letras A, B, C, . . . con sub´ ındices o sin ellos. Los sucesos pueden tener uno o varios elementos, y tambi´n ning´n elemento. En este ultimo e u ´ caso tenemos el suceso imposible, que designamos mediante ∅. En el ejemplo 3, el conjunto A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} es un suceso, y corresponde a obtener un as...