Probabilidad

PROBABILIDAD

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es aquél que verifica que:

• Una pequeña modificación en las causas o en las condiciones iniciales produce una notable variación en los efectos.
• Resulta imposible predecir el resultado de una experiencia particular.
• Se verifica, sin embargo, la llamada ley de la estabilidad de las frecuencias

Ejemplos de experimentosaleatorios son: el lanzamiento de una moneda, de un dado, etc.

Experimento determinista

Un experimento determinista es aquél en el que las mismas condiciones provocan los mismos efectos.

Ejemplo de experimento determinista: el lanzamiento de un proyectil.


Ley de estabilidad de las frecuencias

Supongamos que un determinado experimento se repite indefinidamente y consideremos unsuceso asociado a dicho experimento, la frecuencia relativa del suceso (número de veces que se verifica, partido por el número de veces que se realiza el experimento) tiende a estabilizarse a medida que aumenta el número de repeticiones del experimento.

Espacio muestral

Se define el espacio muestral de un experimento aleatorio como el conjunto que pretende representar o modelizar todos losposibles resultados del experimento. Se representa por Ω.

Definición

Un álgebra A del conjunto P(Ω) (partes de Ω) es una familia no vacía de subconjuntos de Ω, cerrada con respecto a la complementación y con respecto a la unión finita.


A es álgebra de P(Ω) si verifica:

1. A ≠Ø
2.
3. Si A1, A2, …….,An , entonces


Nota: P(Ω) es un álgebra, en la que trabajaremos.Espacio probabilizable

Un espacio probabilizable es el par formado por Ω (espacio muestral) y A un álgebra de partes de Ω. A los elementos de A se les denomina sucesos y a los conjuntos unitarios de elementos de A se les denomina sucesos elementales.

Nota:( Ω, P(Ω)) es un espacio probabilizable.

Tipos de sucesos

• Suceso elemental. Es el formado por un solo elemento.
• Suceso compuesto. Esel formado por dos o más elementos.
• Suceso seguro. Es aquél que se verifica siempre. Se representa por Ω.
• Suceso imposible. Es aquél que no se verifica nunca. Se representa por Ø.
• Suceso contrario o complementario. Dado un suceso A, se denomina suceso contrario o complementario al suceso que se verifica cuando no loa hace A. Esta formado por los elementos del espacio muestral que nopertenecen a A.
• Intersección . Suceso que ocurre siempre que ocurren A y B.
• Unión . Suceso que ocurre cuando ocurren A o B.


Sucesos incompatibles

Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no se pueden verificar simultáneamente, es decir, = Ø. En caso contrario se dice que son compatibles. Los sucesos A y son incompatibles.
Nota. Los sucesos A, B y C son incompatibles cuando =Ø,=Ø y = Ø.


Álgebra de sucesos

Consideremos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω y el álgebra P(Ω), partes de Ω. Se definen las operaciones unión, intersección y complementario, verificando las siguientes propiedades:


UNIÓN
INTERSECCIÓN


Asociativa


Conmutativa


Idempotencia


Simplificativa

Distributiva



De loscomplementarios Ω Ø

Del suceso imposible Ø = A Ø = Ø

Del suceso seguro Ω = Ω Ω = A

Involución del contrario

Contrarios de los sucesos seguro e imposible Ωc= Ø Øc = Ω

Leyes de Morgan

Dado los sucesos A y B, del espacio de sucesos, se verifica:






Definición

Sea (Ω, A ) un espacio probabilizable. Una probabilidad definida en A es una aplicaciónque verifica:

1. A P(A) ≥ 0

2. P(Ω) = 1

3. Sean A1, A2, ……..,An A tales que Ø, . Entonces



(Ω, A, P) es un espacio de probabilidad.

Otras definiciones de probabilidad

• INTERPRETACIÓN CLÁSICA

Probabilidad de un suceso es el número de casos favorables partido por el número de casos posibles en el supuesto en el que todos los casos sean equiprobables.

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