Probabilidad







DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas aplicaciones estadísticas. Fue obtenida por Jakob Bernoulli (1654-1705).
Esta distribución aparece al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”; este experimento recibe el nombrede experimento de Bernoulli. Ejemplos de respuesta binaria pueden ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso.
La variable discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual a p, sigue una distribuciónbinomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toman elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones conceptualmente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso de producción sea estable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sin memoria (el resultado de cada pieza nodepende de las anteriores).
La función de probabilidad: para x=0,1,2,…
DISTRIBUCIÓN POISSON
La distribución de Poisson debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) como una forma límite de la distribución binomial.
La distribución de Poisson de parámetro se puede utilizar como una aproximación de la binomial, si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad deéxito p es pequeña, siendo , dicha distribución también surge cuando un evento o suceso ocurre aleatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a un consultorio en unlapso dado, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, el número de células anormales en una superficie histológica o el número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson. En general, es una distribución muy utilizada en diversas áreas de la investigación médica y, en particular,en epidemiología.
La función de probabilidad: x=0,1,2,…. y
EJERCICIOS


1. Una urna contiene cuatro balotas con los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

Si se toman dos balotas de la urna sin sustitución y X es la suma de los números de las dos balotas extraídas, determine la distribución de probabilidad de X y represéntela por medio de un histograma.

Solución:

PosibilidadesBolas --- Suma

1,2 --> 3
1,3 --> 4
1,4 --> 5
2,1 --> 3
2,3 --> 5
2,4 --> 6
3,1 --> 4
3,2 --> 5
3,4 --> 7
4,1 --> 5
4,2 --> 6
4,3 --> 7

Hay 2 posibilidades con suma 3, 2 con suma 4, 4 con suma 5 ,2 con suma 6 y 2 con suma 7 es decir

X --- frecuencia

3 --- 2
4 --- 2
5 --- 4
6 --- 2
7 --- 2

Tenemos 2+2+4+2+2=12 posibilidades por lo que las probabilidades son

3 ---2/12 = 1/6
4 --- 2/12 = 1/6
5 --- 4/12 = 1/3
6 --- 2/12 = 1/6
7 --- 2/12 = 1/6

por lo tanto la función de probabilidad es

X -- f(x)
3 --- 1/6
4 --- 1/6
5 --- 1/3
6 --- 1/6
7 --- 1/6

E(x)= suma de x*f(x)

E(x)= 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/3+6*1/6 + 7*1/6

E(X)=5

La varianza es la suma de f(x)*(x-E(X))²

V(X)=1/6*(3-5)² + 1/6*(4-5)² + 1/3*(5-5)² +1/6*(6-5)² + 1/6*(7-5)²

V(X)=5/32. Para las siguientes tablas de datos, determine si se trata de una distribución de probabilidad. En los casos en que sea así, identifique los requisitos que no se satisfacen. En los casos en que si se describa una distribución de probabilidad,

Calcule su media y desviación estándar.


P(X=x) = 0.125+.0.375+0.75+0.125 = 1
Si es una distribución de probabilidad
μx = E(x)= ∑(0*0.125)...