Probabilidad

PRUEBAS DE HIPOTESIS SOBRE LA VARIANZA:
Algunas veces se necesitan pruebas sobre la varianza o la desviación estándar de una población, en esta sección se presentan dos procedimientos; uno se basa en la hipótesis de que la población es normal, mientras que el otro es una prueba para una muestra grande que no requiere la suposición de normalidad.
Procedimientos de prueba para una poblaciónnormal:
Supóngase que se da probar la hipótesis de que la varianza d una población normal σ²
Es igual a un valor específico, por ejemplo, σ²0 sea X1, X2…Xn, una muestra aleatoria de nobservaciones tomadas de esta población para probar:

Ho: σ² = σ²0
H1 σ² ≠ σ²0

Se utiliza: X²0 = n-1S2σ2

Donde S²,es la varianza muestral, ahora, si Ho: σ² = σ²0 esverdadera, entonces el estadístico de prueba X²0 sigue una distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad, por consiguiente, se calcula el valor de la estadística de prueba X²0 , la hipótesis Ho: σ² = σ²0
Debe rechazarse si:
X²0 = > X²σ/2, n-1
O si:
X²0 = X²1/2, n-1

Donde X²0 = > X²σ/2, n-1 y X²0 = X²1/2, n-1, son los puntos que corresponden a los porcentajes 100 /2inferior y superior de la distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad, respectivamente. El mismo estadístico de prueba se utiliza para hipótesis alternativas unilaterales. Para la hipótesis unilateral:
Ho: σ² = σ²0(0
H1 σ² > σ²0(0
Se rechaza Ho si:
X²0 = > X²σ/2, n-1
Para la hipótesis unilateral:
Ho: σ² = σ²0(0
H1 σ² < σ²0(0

Se rechaza Ho si:
X²0 = X²1/2, n-1EJEMPLO:
Considérese la maquina de llenado de botellas, al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas se obtiene una varianza muestral para el volumen de llenado de S²= 0.0153 (onzas de fluido)² si la varianza muestral para el volumen de llenado es mayor a 0.01 (onzas de fluido)² entonces existe una proporción inaceptable de botellas que serán llenadas con una cantidad menos de liquido ¿existeevidencia en los datos muestrales que sugiera que el fabricante tiene un problema con el llenado de las botellas? Utilícese σ = 0.05.

PRUEBAS PARA LA IGUALDAD DE 2 VARIANZAS:
En esta sección se presentan pruebas para comparar 2 varianzas, se presentan pruebas para poblaciones normales y pruebas para muestras grandes que pueden aplicarse a poblaciones que no son normales:

Procedimiento de pruebapara las poblaciones normales:
Supóngase que se tiene en dos poblaciones normales independientes donde las medias y varianza de la población, μ1, σ21 μ2 y σ22 y , son desconocidas, se desea probar la hipótesis sobre la igualdad de las dos varianzas, Ho: σ²1 = σ²2 , por ejemplo: supóngase que para ello se tienen disponibles dos muestras aleatorias, una de tamaño n1, tomando de la población 1 y otrade tamaño n2 proveniente de la población 2, y sean S²1 y S²2 , las varianzas muestrales, para probar la alternativa bilateral:

Ho: σ²1 = σ²2
H1 σ²1 ≠ σ²2

Se utiliza el hecho de que el estadístico:
Fo= S²1 S²2

Tiene una distribución similar a la F con n1-1 grados de libertad en el numerados y n2-1 grados de libertad en el denominador, si la hipótesis nula Ho: σ²1 = σ²0 s verdadera,por consiguiente debe rechazarse el valor Ho si el valor de la estadística prueba:

ƒ0 > ƒα/2, n1-1, n2-1
ƒ0 < ƒ1-α/2, n1-1, n2-1

Donde ƒ0>ƒα/2, n1-1, n2-1 y ƒ0<ƒ1-α/2, n1-1, n2-1 , son los puntos inferiores y superiores que corresponden al porcentaje 100 /2 de la distribución F con n1-1 y n2-1 grados de libertad. La tabla V del apéndice proporciona solo los puntos de la colasuperior de la distribución F así que para encontrar ƒ1 < ƒ1-α/2, n1-1, n2-1 , debe utilizarse:

ƒ1 < ƒ1-α/2, n1-1, n2-1 = 1fα/2,n1-1, n2-1

El estadístico de prueba de la ecuación puede emplearse para probar la hipótesis alternativas, unilaterales puesto que las etiquetas asignadas a las poblaciones son arbitrarias, sea σ²1 la varianza de la población que se propone...