PROBABILIDAD

TEORIA DE LA PROBABILIDAD:
NOCIONES FUNDAMENTALES
Guillermo Ramirez, Maura V´squez y Adelmo Fern´ndez*
a
a
2011

*

Escuela de Estad´
ıstica y Ciencias Actuariales de la Universidad Central de Venezuela

´
Indice general
2. Espacios Probabilizados
2.1. Espacios probabilizados finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Espacios probabilizados finitos con puntos equiprobables.An´lia
sis combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Probabilidades multinomial e hipergeom´trica . . . . . . . . .
e
2.4. Funci´n de probabilidad en espacios muestrales infinitos nuo
merables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Funci´n de probabilidad en espacios muestrales infinitos no
o
numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
2.6. Ejercicios 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

41
41
42
51
54
55
58

Cap´
ıtulo 2
Espacios Probabilizados
En el cap´
ıtulo anterior estudiamos los conceptos fundamentales para la
construcci´n de un modelo matem´tico que explique el comportamiento de
o
a
un experimento aleatorio dado:
Espacio Muestral
Conjunto de todos losresultados posibles del experimento

Algebra de Sucesos
Clase conformada por todos los sucesos posibles asociados al espacio muestral

Funci´n de Probabilidad
o
Funci´n que asocia a cada suceso su probabilidad correspondiente
o

En este cap´
ıtulo discutiremos la situaci´n planteada seg´n el espacio
o
u
muestral sea finito, infinito numerable o infinito no numerable

2.1.

Espaciosprobabilizados finitos

Nos ocuparemos en primer lugar del caso en el cual el espacio muestral
es un conjunto finito, y por tanto puede escribirse como: Ω = {w1 , w2 ,... wn }.
En este caso bastar´ con conocer la funci´n de probabilidad sobre los puntos
a
o
muestrales, para calcular la probabilidad de cualquier suceso asociado a Ω.
En efecto, en un espacio muestral finito cualquier suceso Apuede escribirse como:
A = {wa1 , wa2 , ...wak }
41

Capitulo 2

Espacios Probabilizados

42

donde k = n(A) es el n´mero de elementos de A, de modo que:
u
k

k

P (A) = P (

wai ) =

i=1

P (wai )
i=1

Si B es cualquier otro suceso incompatible con A, digamos: B = { wb1 ,
wb2 ,... wbm } donde m = n(B) es el n´mero de elementos de B, entonces la
u
uni´n:
o
A ∪ B ={wa1 , wa2 , ...wak , wb1 , wb2 , ...wbm }
y su probabilidad:
P (A ∪ B) = P (wa1 ) + P (wa2 ) + ...P (wak ) + P (wb1 ) + P (wb2 ) + ...P (wbm )
k

=

m

P (wai ) +
i=1

P (wbi ) = P (A) + P (B)
i=1

Estas ideas sugieren que la especificaci´n de las probabilidades de los
o
puntos muestrales es suficiente para definir una funci´n de probabilidad en
o
un espacio muestral finito. Enrealidad ese es el caso, tal como se desprende
del siguiente teorema, cuya demostraci´n se deja como ejercicio.
o
Teorema 2.1.1. Sea Ω = {w1 , w2 ,... wn } un espacio muestral finito asociado
a un cierto experimento aleatorio. Sea la funci´n P: P(Ω) → R definida de
o
modo que:
i.- 0 ≤ P (wi ) ≤ 1
n
i=1

ii.-

∀i

P ({wi }) = 1

iii.- P (A) =

w∈A

P ({w})

Entonces P es una funci´nde probabilidad sobre (Ω, P (Ω)).
o

2.2.

Espacios probabilizados finitos con puntos equiprobables. An´lisis combinatorio
a

Supondremos ahora que todos los puntos muestrales son equiprobables,
es decir, P ({wi }) = p ∀i. En ese caso:
P (Ω) = 1 = P (∪{wi }) =

P ({wi }) = np de donde p = 1/n

Capitulo 2

Espacios Probabilizados

43

De tal manera que la probabilidad decualquier suceso A vendr´ dada
a
por:
P (A) = 1 = P (∪{wai }) =

P ({wai }) = kp =

n(A)
n

resultado que concuerda con el enfoque cl´sico de Laplace.
a
Ejemplo 2.2.1. Se elige aleatoriamente un n´mero entre 1 y 100. Halle la
u
probabilidad de que el n´mero seleccionado sea m´ltiplo de 3.
u
u
En primer lugar, debemos aclarar que el t´rmino “aleatorio”es utilizado
e
en muchos sentidos...