Probabilidad

Estatística Econômica I Prof.º Francisco Farias

CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. Introdução
Nas aulas anteriores vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas e gráficas permite que tenhamos uma boa idéia da distribuição desse conjunto. Em particular, a distribuição de freqüências é um instrumento importante para avaliarmos a variabilidade das observações de umfenômeno aleatório. A partir dessas freqüências observadas podemos calcular medidas de posição e variabilidade, como média, mediana, desvio-padrão etc. Essas freqüências e medidas calculadas a partir dos dados são estimativas de quantidades desconhecidas, associadas em geral a populações das quais os dados foram extraídos na forma de amostras. Em particular, as freqüências (relativas) são estimativas deprobabilidades de ocorrências de certos eventos de interesse. Com suposições adequadas, e sem observarmos diretamente o fenômeno aleatório de interesse, podemos criar um modelo teórico que reproduza de maneira razoável a distribuição das freqüências, como se o fenômeno tivesse sido observado diretamente. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos.

2. Experimento Aleatório
Experimentosaleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Por exemplo, as condições climáticas do próximo domingo não podem ser estabelecidas com total acerto. O mesmo pode ser dito da taxa de inflação do próximo mês. Veremos que, em situações como essas, modelos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversasocorrências. O experimento aleatório é denotado por E. A fim de entender melhor a caracterização de um experimento aleatório, convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos: E1: Jogar uma moeda duas vezes e observar a face de cima. E2: A quantidade de dinheiro ganho por viagem, em R$, de um taxista. E3: O número de apólices de seguros de vida vendidas por dia em uma corretora.

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A análise desses experimentos revela: a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições; b) Não se conhece um particular valor do experimento “a priori”, porém pode-se descrever todos os possíveis resultados (as possibilidades). c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade, istoé, haverá uma estabilidade na fração f =
r (freqüência relativa), n

em que n é o número de repetições e r o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização.

3. Espaço Amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado espaço amostral do experimento. O espaço amostral é denotado por S. Como exemplos vamos considerar cadaum dos experimentos aleatórios dados anteriormente. Os respectivos espaços amostrais serão: S1: {CC, CK, KC, KK}, onde C = cara e K = coroa. S2: {r , tal que r > 0} , onde r é a quantidade ganha (R$) por viagem.

S3: {0, 1, 2, 3, 4, ...}. O espaço amostral pode ser: a) Finito – formado por um número limitado de resultados possíveis, como no caso S1; b) Infinito – formado por intervalos denúmeros reais, como no caso S2; c) Infinito Enumerável – formado por um número infinito de resultados, os quais podem ser listados, como no caso S3;

4. Evento
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Assim, qualquer que seja o evento A, se A ⊂ S (A está contido em S), então A é um evento de S. Se A = S, A é chamado evento certo. Se A ⊂ S e A é umconjunto unitário, A é chamado evento elementar. Se A = ∅, A é chamado de evento impossível.

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Exemplo 4.1: No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos:

A = {2, 4, 6} ⊂ S; logo, A é um evento de S. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊂ S; logo, B é um evento certo de S, assim B = S. C = {4} ⊂ S; logo, C é um elemento elementar de S. D...