probabilidad

LECCION 13ªRegresión lineal
 
Representamos en un gráfico los pares de valores de una distribución bidimensional: la variable "x" en el eje horizontal o eje de abcisa, y la variable "y" en el eje vertical, o eje de ordenada. Vemos que la nube de puntos sigue una tendencia lineal:

El coeficiente de correlación lineal nos permite determinar si, efectivamente, existe relación entre las dosvariables. Una vez que se concluye que sí existe relación, la regresión nos permite definir la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.

Una recta viene definida por la siguiente fórmula:
y = a + bxDonde "y" sería la variable dependiente, es decir, aquella que viene definida a partir de la otra variable "x" (variable independiente). Para definir la recta hay que determinar los valores delos parámetros "a" y "b":
El parámetro "a" es el valor que toma la variable dependiente "y", cuando la variable independiente "x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje vertical.
El parámetro "b" determina la pendiente de la recta, su grado de inclinación.
La regresión lineal nos permite calcular el valor de estos dos parámetros, definiendo la recta que mejor se ajusta a esta nubede puntos.
El parámetro "b" viene determinado por la siguiente fórmula:

Es la covarianza de las dos variables, dividida por la varianza de la variable "x".
El parámetro "a" viene determinado por:
a = ym - (b * xm)
Es la media de la variable "y", menos la media de la variable "x" multiplicada por el parámetro "b" que hemos calculado.
Ejemplo: vamos a calcular la recta de regresión de lasiguiente serie de datos de altura y peso de los alumnos de una clase. Vamos a considerar que la altura es la variable independiente "x" y que el peso es la variable dependiente "y" (podíamos hacerlo también al contrario):
Alumno Estatura Peso Alumno Estatura Peso Alumno Estatura Peso
x x x x x x x x x
Alumno 1 1,25 32 Alumno 11 1,25 33 Alumno 21 1,25 33
Alumno 2 1,28 33 Alumno 12 1,28 35 Alumno22 1,28 34
Alumno 3 1,27 34 Alumno 13 1,27 34 Alumno 23 1,27 34
Alumno 4 1,21 30 Alumno 14 1,21 30 Alumno 24 1,21 31
Alumno 5 1,22 32 Alumno 15 1,22 33 Alumno 25 1,22 32
Alumno 6 1,29 35 Alumno 16 1,29 34 Alumno 26 1,29 34
Alumno 7 1,30 34 Alumno 17 1,30 35 Alumno 27 1,30 34
Alumno 8 1,24 32 Alumno 18 1,24 32 Alumno 28 1,24 31
Alumno 9 1,27 32 Alumno 19 1,27 33 Alumno 29 1,27 35
Alumno 101,29 35 Alumno 20 1,29 33 Alumno 30 1,29 34
El parámetro "b" viene determinado por:
b = (1/30) * 1,034  
----------------------------------------- = 40,265
(1/30) * 0,00856  
Y el parámetro "a" por:
a = 33,1 - (40,265 * 1,262) = -17,714
Por lo tanto, la recta que mejor se ajusta a esta serie de datos es:
y = -17,714 + (40,265 * x)
Esta recta define un valor de la variable dependiente(peso), para cada valor de la variable independiente (estatura):
 
Estatura Peso
x x
1,20 30,6
1,21 31,0
1,22 31,4
1,23 31,8
1,24 32,2
1,25 32,6
1,26 33,0
1,27 33,4
1,28 33,8
1,29 34,2
1,30 34,6
onsideremos el siguiente ejemplo: Un psicólogo hace el seguimiento de un estudiante de Bachillerato que ha obtenido un 5 en los exámenes de Matemáticas (M) e Historia (H). Las puntuacionesobtenidas por los estudiantes de los dos grupos son:

El estudiante ha quedado muy bien en Matemáticas, y mal en Historia en relación a los resultados obtenidos por el resto del grupo, pero la puntuación directa (el 5) es la misma en ambos exámenes. En conclusión, las puntuaciones directas NO miden de manera adecuada de la posición de los datos en relación al grupo. Por tanto, es preciso considerar unprocedimiento que sí lo haga.
Si en lugar de operar con las puntuaciones directas obtenemos el porcentaje de puntuaciones con valores inferiores vemos que el estudiante ha obtenido una puntuación en Matemática que deja por bajo el 80% de las puntuaciones de Matemáticas, y en Historia el 10% de Historia. De esta forma sí podemos comparar el rendimiento del estudiante en los dos exámenes, y se...