Probabilidad

Análisis de Datos I

Esquema del Tema 12

Tema 12: Probabilidad: Definiciones
1. CONCEPTOS
Experimento aleatorio
Suceso
Espacio muestral

2. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Enfoque clásico
Enfoque frecuencialista

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. TEOREMAS BÁSICOS
Teorema de la suma
Teorema del producto

5. EJERCICIOS

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Bibliografía: Tema 9 (pág. 241-256)Carmen Ximénez

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Análisis de Datos I

Esquema del Tema 12

1. CONCEPTOS:
Experimento aleatorio: toda acción cuyo resultado no puede predecirse con certeza
(por ejemplo, introducir 2 ratas en un laberinto con 3 salidas equiprobables)
Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Su conjunto constituye el espacio muestral (E).

Suceso: cualquiersubconjunto de los elementos de E.

Tipos: Imposible: { ∅ } suceso que tal y como está definido E, es imposible que ocurra
Seguro: suceso que está incluido en E
Complementario: A’ subconjunto de sucesos elementales de E que no está
incluido en A
Sucesos Incompatibles o excluyentes: no pueden darse simultáneamente: P(A ∩ B) = 0

Operaciones con sucesos:
A

B

Unión: A ∪ B .............Subconjunto de elementos de E que
están incluidos, al menos en uno de esos sucesos (A o B)
Intersección: A ∩ B ... Subconjunto de elementos de E que
están incluidos simultáneamente en los subconjuntos de ambos
sucesos (A y B).

A∩B
Espacio muestral de un
experimento aleatorio

Diferencia: A - B .......... Subconjunto de E integrado por los
sucesos elementales que pertenecen a A pero no aB.

Espacio muestral, E: conjunto (población) de resultados posibles o sucesos elementales
de un experimento aleatorio.
Puede ser de dos tipos:
a) Espacio muestral finito: sabemos cuántos resultados posibles (sucesos elementales) hay.
b) Espacio muestral infinito: tiene infinitos sucesos elementales. Si se corresponden con

los números naturales se trata de un espacio muestral infinitonumerable. En caso
contrario, infinito no numerable.
EJEMPLO 1:
Experimento aleatorio: “introducir 2 ratas en un laberinto con 3
salidas equiprobables (A, B y C)”

A

Espacio muestral: E = {AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC},

AB
BA
AC

AA
CC

CA

Suceso A: Al menos una rata sale por A: A = {AA, AB, AC, BA, CA},
Suceso B: Las dos ratas salen por la misma salida: B = {AA, BB, CC},B

BB

BC

CB

EJEMPLO 2:
Experimento aleatorio: “Lanzar una moneda al aire 2 veces”
Espacio muestral: E = {CC, CX, XC, XX},
donde: C (Cara) y X (Cruz)
Suceso C: Al menos sale una cara: C = {CC, CX, XC}
Suceso D: Las dos veces sale cara: D = {CC}
Carmen Ximénez

C

D

CX
XC

CC

XX

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Esquema del Tema 12

2. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
“Laprobabilidad de un suceso es un número que cuantifica en términos relativos
las opciones de verificación de ese suceso”
Enfoque clásico o a priori (Laplace, 1812)
Nºcasos favorabes: nA
P(A ) =
Nºcasos posibles: N
1.
2.
3.
4.
5.

Los elementos de E tienen la misma probabilidad de ocurrencia (equiprobables)
0 ≤ P(A) ≤ 1
Si A es un suceso imposible: P(A) = 0
Si A es un suceso seguro(contiene todos los sucesos elementales de E): P(A) = 1
P(A) + P(A’) = 1. Por tanto: P(A) = 1 - P(A’)

Ejemplo 1:

P(A) = nA / N = 5 / 9
P(B) = nB / N = 3 /9
P(A ∪ B) = nA ∪ B / N = 7 / 9
P(A ∩ B) = nA ∩ B / N = 1 / 9

Ejemplo 2:

P(C) = nC / N = 3 / 4
P(D) = nD / N = 1 / 4
P(C ∪ D) = nC ∪ D / N = 3 / 4
P(C ∩ D) = nC ∩ D / N = 1 / 4

Enfoque frecuencialista o a posteriori

nAn→∞ N

P(A ) = Lím

(N = nº de ensayos de Bernoulli que se repite el experimento aleatorio)
La probabilidad del suceso A se determina a partir de la repetición sistemática (n
veces) del experimento aleatorio -en N ensayos independientes y en las mismas
condiciones- y el nº de veces que se verifican los sucesos

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidad del suceso A, dada la verificación...