Probabilidad

EL METODO DE LAS ARANDELAS O DEL ANILLO
El método de los discos puede extenderse para cubrir sólidos de revolución huecos remplazando el disco con una con una arandela o anillo. La arandela se formaal girar un rectángulo alrededor del eje, como se muestra en la figura. Si r y R son los radios interiores y exteriores de la arandela y w es la anchura, el volumen esta dado por.Volumen de la arandela o anillo= πR2-r2w

Para ver como este concepto puede usarse para encontrar el volumen de un solido de revolución, considerar una región acotada por un radio exteriorR(x) y radio interior r(x), como se muestra en la figura. Si la región se gira alrededor de su eje de revolución, el volumen del solido resultante esta dado por


V= πabRx2-rx22dx

Observa quela integral que contiene el radio interior representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio exterior.

EJEMPLO: uso del método de arandela o anillo
Encontrar elvolumen del solido formado al girar la región acotada por las graficas de y=x ; y=x2 alrededor del eje x, como se muestra en la figura.

En la figura se puede observar que los radios exteriores einteriores son:
R(x) = x
r(x) = x2
Integrando entre 0 y 1 produce:
V= πab([Rx]2- [rx]2)dx
V = π 01[x)2- x22dx
Simplificando:
V = π 01x- x4dx π [x22-x55]10V= 3π10u3

Hasta ahora, en cada ejemplo el eje de revolución ha estado horizontal y se integraba con respecto a x. En el próximo ejemplo, el eje de revolución será vertical y se integrarácon respecto a Y. En este ejemplo, se necesita efectuar dos integrales separadas para calcular el volumen.
EJEMPLO: Integración en Y, con dos integrales
Encontrar el volumen del sólido formado algirar la región acotada por las graficas de y = x2+1 ,
Y= 0; x=0; x=1 alrededor del eje Y, como se muestra la figura.

Para 1 ≤y≤2
R = 1
r = y-1

Para 0 ≤y≤1
R= 1
r = 0

Solución: Para...