Probabilidad

Estimación de Parámetros
La teoría de muestreo puede emplearse para obtener información acerca de muestras obtenidas aleatoriamente de una población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, suele ser más importante y ser capaz de inferir información acerca de una población a partir de muestras de ellas. Dichos problemas son tratados por la inferencia estadística que utilizaprincipios de muestreo. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros poblacionales o simplemente parámetros (como la media y la varianza poblacionales), a partir de los estadísticos muéstrales correspondientes o estadísticos (como la media y la varianza muestral.
Estimados Eficientes
Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media oesperanza matemática entonces el estadístico con la menor varianza se denomina estimador eficiente de la media, mientras que el otro estadístico se le llama estimador ineficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos se conocen, respectivamente, como estimadores eficientes. Si se consideran todos los estadísticos posibles, cuyas distribuciones muéstrales tienen la misma media, aquel conla menor varianza suele denominarse el mejor o más eficiente estimador de dicha media.
La distribución muestral de la media y la mediana tienen la misma media; a saber la media poblacional. Sin embargo, la varianza de la distribución muestral de las medias es más pequeña que la varianza de la distribución muestral de las medianas. por lo tanto, la media muestral ofrece un estimado ineficiente deesta De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media muestral ofrece el mejor o más eficiente estimado. En la práctica, suelen usarse los estimados ineficientes debido a la relativa facilidad con que se obtienen algunos de ellos.
Estimados sin Sesgo
Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al parámetro poblacional correspondiente, el estadísticose denomina estimador sin sesgo del parámetro; de otra manera, es denominado estimador sesgado. Los valores correspondientes de dichos estadísticos se llaman estimados sin sesgo o sesgados, respectivamente.
1.- La media de la distribución muestral de las medias es x, la media poblacional. Por lo tanto, la media muestral x es un estimado sin sesgo de la media poblacional.
2.- La media de ladistribución muestral de las varianzas es:
s2 = ( N-1/ N ) 2
donde 2 es la varianza poblacional y N es el tamaño de la muestra .Entonces, la varianza muestral s2 es un estimado sesgado de la varianza poblacional 2. Usando la varianza modificada.
2 =( N/ N-1 )s2
Se encuentra que 2 = 2, de modo que 2 es un estimado sin sesgo de 2 . Sin embargo es un estimado de. En términos de esperanza matemáticase podía decir que un estadístico no está sesgado si su esperanza es igual al parámetro poblacional correspondiente. Por lo tanto, x y 2 no están sesgados,

* Estimados sin Sesgo y eficientes
1.- De un ejemplo de estimadores y estimados que sean a).- sin sesgo y eficientes, b).- sin sesgo e ineficientes y c).- sesgados e ineficientes
Solución
a).- La media maestral x y la varianzamaestral modificada
2 =( N/ N-1 ) s2
b).- La media muestral y el estadístico muestral ½ (Q1 + Q3) donde Q1 y Q3 son los cuartiles inferior y superior, son dos de dichos ejemplos. Ambos estadísticos son estimados sin sesgo de la media poblacional, ya que la media de sus distribuciones muéstrales es la media poblacional.
c).- La desviación estándar muestral s, la desviación estándar modificada, ladesviación media y el rango semiintercuartilar son cuatro de dichos ejemplos
2.- En una muestra de cinco mediciones, los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.32, 6.37 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera y b) la varianza verdadera.
Solución
a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera, es...