Probabilidad




1- Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.

Solución.

E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

2- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior. a) Escriba el espacio muestral.
b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.
c) Escriba el suceso responder “verdadero” almenos a 3 preguntas.
d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.
e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso imposible ¿Constituyen un sigma-álgebra?

Solución

a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:

(V, V, V, V)
(V, V, V, F)
(V, V, F, V)
(V, F, V, V)
(F, V, V, V)
(F, V, V,F)
(V, V, F, F)
(F, V, F, V)
(V, F, V, F)
(F, F, V, V)
(V, F, F, V)
(V, F, F, F)
(F, V, F, F)
(F, F, V, F)
(F, F, F, V)
(F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y será:

A = {(V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V)}c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:

B = {(V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, V, V)}


d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente los siguientes resultados:

A B = B A B = A B- A = {(V, V, V, V)}



3- Una rata es colocada en una caja con trespulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?










Solución

a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la roja y la segunda también pulse la roja, es decir que severifique el suceso (R1 R2). Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos favorables (uno), partido por casos posibles (tres)

P(R1 R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9

b) En este apartado, claramente,nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que sonindependientes.

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9



4- Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo, un jugador apuesta al negro ¿Qué probabilidad tiene de ganar?

Solución

Para que el jugador gane tiene que ocurrir la secuencia R1, R2, ..., R9, N10. Comosabemos ya se ha producido R1, R2, ..., R9. La probabilidad que buscamos será la probabilidad de que salga negro en el décimo lanzamiento, condicionada por que haya salido rojo en las nueve anteriores. Por la definición de probabilidad condicionada:


P(N10/R1 ∩ R 2∩..∩R9)
P( N 10∩R1∩R 2∩...∩ R9)
P (R1∩R2∩... ∩R9)
0,51 0
0,59

0,5


5- En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos quesuperen uno de los dos parciales. Con este criterio aprobó el 80%, sabiendo que el primer parcial lo superó el
60% y el segundo el 50% ¿Cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales?

Solución

Sea A1 el suceso aprobar el primer parcial y A2 aprobar el segundo. Los datos del problema nos dicen que:

P(A1 A2) = 0,8 P(A1) = 0,6 P(A2) = 0,5...