Probabilidades Y Estadistica

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Y DlSTRlBUClONES DE PROBABILIDAD

V 4.1

VARIABLES ALEATORIAS
Supongamos que se realiza un experimento aleatorio y a cada resultado posible se le asigna un numero. En experimentos tales como lanzar un dado o medir la renta familiar, 10s resultados posibles
son valores numdricos. Cuando dste no es el caso, tambidn es habitual asignar numeros a 10s posiblesresultados, especialmente en experimentos con d l o dos resultados posibles. Por ejemplo, un componente producido en un proceso industrial puede clasificarse como "defectuoso" o "no defectuoso".
Podemos asignar el valor 1 a la primera posibilidad y 0 a la segunda.
Antes de realizar el experimento, h abri incertidumbre sobre el resultado del mismo, y, como vimos
en el Capitulo 3, estaincertidumbre se puede cuantificar en tdrminos de probabilidades. Si 10s resultados son valores numCricos, estas probabilidades pueden resumirse convenientemente a travts de la
noci6n de variable aleatoria.

Una variable aleatoria es una variable que toma valores numtricos determinados por el resultado de un experiment~
aleatorio.

Es importante distinguir entre una variable aleatoria y 10s posiblevalores que Csta puede tomar.
Usaremos letras maylisculas, tales como X, para designar la variable aleatoria y la c o~~espondiente
minuscula x para designar un valor posible. Por ejemplo, antes de observar el resultado del lanzamiento de un dado, puede usarse la variable aleatoria X para designar el resultado. Esta variable aleatoria puede tomar 10s valores concretos x = 1, x = 2, ...,x = 6, cadauno con probabilidad 116.

4.5 LA D ISTRIBUCI~N INOMIAL
B
Supongamos que un experimento aleatorio tiene s610 dos resultados posibles que son mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos, y que por conveniencia llamaremos "Cxito" y "fracaso". Sea
p la probabilidad de Cxito; la probabilidad de fracaso es, por tanto, (1 -p). Definamos ahora la variable aleatoria X quetoma el valor 1 si el resultado del experiment0 es Cxito y 0 en caso contrario. La
funci6n de probabilidad de esta variable aleatoria es, entonces,
Esta distribuci6n se conoce como la distribuci6n de Bernoulli. Su media y su varianza pueden
calcularse mediante la aplicaci6n directa de las definiciones de la Secci6n 4.3. La media de una variable aleatoria$ernoulli es
PX

= E(X) = C xPx(x) =(ON1 - p )

+ ( l)(p) = p

X

y la varianza

a

CT?E[(X - rn)'] = C (X - k)'PX(x)
=

= (0 - p)'(l - p )

+ (1 - P)$

= p ( 1 - p)

I

EJEMPLO

4.8

Un agente de seguros piensa que en un contact0 concreto, la probabilidad de conseguir una venta
es 0,4. Si definimos la variable aleatoria X que toma el valor 1 si consigue una venta y 0 si no, entonces, X tiene distribucidnBernoulli con probabilidad de Cxito p igual a 0,4, es decir, la funci6n de pro.,babilidad de X es
Px(0) = 0 ,6

Px(1) = 0.4

La media de esta distribuci6n es p = 0,4, y la varianza

Una generalizaci6n importante de la distribuci6n Bernoulli consiste en considerar el caso en el que
un experimento aleatorio, con dos resultados posibles, se repite varias veces. Supongamos de nuevo
que laprobabilidad de Cxito en cada repetici6n es p y que se realizan n ensayos independientes, con
lo que el resultado de un ensayo no influye en el resultado de cualquier otro. El n6mero de Cxitos X en
las n repeticiones puede ser cualquier ndmero entero entre 0 y n, y estamos interesados en la probabilidad de obtener exactamente X = x Cxitos en n repeticiones.
>
~ esarrollaremos l resultado en dospartes. Primero, observemos que el resultado de las n repetie
ciones es una secuencia de n resultados, cada uno de 10s cuales debe ser Cxito (S) o fracaso (F). Una
secuencia con x Cxitos y (n - x) fracasos es

,

S ,S. ....S , ,
x veces

F , F. .... F
'(n - x) vecesl

Es decir, en las x primeras repeticiones el resultado es Cxito, mientras que en las restantes el resultad0 es siempre...