Probabilidades

Probabilidades

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacarconclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Concepto de probabilidades

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época.El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, losmárgenes de error en los cálculos.

Teoremas del cálculo de probabilidades
Hay algunos resultados importantes del cálculo de probabilidades que son conocidos bajo los nombres de teorema de la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. Veamos cuales son estos teoremas, pero previamente vamos a enunciar a modo de recopilación, una serie de resultados elementales cuyademostración se deja como ejercicio para el lector (algunos ya han sido demostrados anteriormente):

Proposición
Sean [pic]no necesariamente disjuntos. Se verifican entonces las siguientes propiedades:
1.
Probabilidad de la unión de sucesos:
[pic]

2.
Probabilidad de la intersección de sucesos:
[pic]

3.
Probabilidad del suceso contrario:
[pic]4.
Probabilidad condicionada del suceso contrario:
[pic]

Ejemplo
En una universidad el 50% de los alumnos habla inglés, el 20% francés y el 5% los dos idiomas ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?
Solución:
Sea A el suceso hablar inglés: [pic].
Sea B el suceso hablar francés: [pic].
El suceso hablar francés e inglés es [pic]:[pic].
Así:
[pic]

Ejemplo
En una estación de esquí, para navidad-es, la experiencia indica que hay un tiempo soleado sólo el [pic]de los días. Por otro lado, se ha calculado que cuando un día es soleado, hay una probabilidad del 20% de que el día posterior también lo sea. Calcular la probabilidad de que, en navidades, un fin de semana completo sea soleado.
Solución: Llamemos S al sucesosábado soleado y D al suceso domingo soleado. La única manera en que un fin de semana completo sea soleado es que lo sea en primer lugar el sábado, y que el domingo posterior también. Es decir:

[pic]

Luego sólo el [pic]de los fines de semana son soleados.
El primero de los teoremas que vamos a enunciar es una generalización de la probabilidad de la intersección de dos sucesos, a la de unnúmero cualquiera pero finito de ellos:
(Probabilidad compuesta)
Sea [pic]una colección de sucesos aleatorios. Entonces:

[pic]

Demostración
[pic]

Los teoremas que restan nos dicen como calcular las probabilidades de sucesos cuando tenemos que el suceso seguro está descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos su probabilidad. Para ello necesitamos introducir unnuevo concepto: Se dice que la colección [pic]es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las relaciones (véase la figura 4.5):

  
|Figura: A1,A2,A3,A4 forman un sistema exhaustivo y excluyente se |
|sucesos. |
|[pic] |

[pic]

[pic]

Teorema...