probabilidades

UNIDAD 1
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD


Frecuentemente las observaciones que se generan en experimentos estadísticos tienen algunos tipos generales de comportamiento, por eso sus variables se pueden describir esencialmente con unas pocas distribuciones, las cuales pueden representarse mediante una ecuación.

Frente a la complejidad de los fenómenos bajo estudio, elexperimentador aproxima y hace algunos postulados tentativos acerca del mecanismo aleatorio y deriva un modelo por el empleo de esos postulados en combinación con las leyes de probabilidad.

Un modelo de probabilidad para la variable aleatoria X es una forma específica de distribución de probabilidades que es asumida para reflejar el comportamiento de X. Las probabilidades son registradas en términos deparámetros desconocidos que relacionan las características de la población y el método de muestreo.

“EL MODELO DEBE SER COHERENTE CON LA REALIDAD”

En esta unidad se examinarán detalladamente algunas distribuciones específicas de probabilidad que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos problemas prácticos. Pero dichas distribuciones son teóricas porque sus funciones deprobabilidad se deducen matemáticamente con base en ciertas hipótesis que se suponen válidas para esos fenómenos aleatorios.

Dichas distribuciones son idealizaciones del mundo real, por lo tanto sus resultados no siempre coinciden con la realidad.

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Dicho de otraforma, una variable aleatoria es una función valorada numéricamente, cuyo valor está regido por factores en los que interviene el azar.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, según su rango de valores.

Una variable aleatoria es discreta si el número de valores que puede tomar es contable; generalmente puede asumir únicamente valores enteros. Cada uno de sus valores tienecierta probabilidad.

La descripción del conjunto de posibles valores de X y la probabilidad asociada a cada uno se denomina distribución de probabilidad. Si la variable puede tomar un número pequeño de valores, la forma más simple consiste en construir una tabla que contenga los posibles valores y sus respectivas probabilidades; si no son pocos, lo más adecuado es expresar dicha probabilidadcomo una ecuación.


EJEMPLO 1.1.
Se lanza una moneda 3 veces. Construir la distribución de probabilidad de X, si éste es el número de caras.

Solución:

x
0
1
2
3
f(x)
1/8
3/8
3/8
1/8



Siempre que se evalúen variables aleatorias, se cumple que:

1. f(x) ≥ 0
2.
3. p(X=x) = f(x)


EJEMPLO 1.2.
Un embarque de 8 microcomputadores similares que se envía aun distribuidor contiene 3 aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria de 2 de estos computadores, encuentre la distribución de probabilidades para el número de computadores defectuosos

Solución:

p(X=0) = 5/8 * 4/7 = 10/28
p(X=1) = 5/8 * 3/7 * 2 = 15/28
p(X=2) = 3/28

Por lo tanto, la distribución de probabilidades puede expresarse así:

x
0
1
2
f(x)
10/2815/28
3/28

Dicha distribución puede representarse mediante un diagrama de barras, teniendo en cuenta que se trata de una variable discreta.

EJEMPLO 1.3.
Un examen de opción múltiple contiene 25 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Cierto estudiante trata de adivinar las respuestas; haga una distribución de frecuencias para el número de respuestascorrectas.

Solución:



Además, puede hablarse de una distribución acumulada de dicha variable; ésta se denota como F(X), indica la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico y está dada por:

F(X) = p(X≤x) = p(X)

EJEMPLO 1.4.
La producción diaria de 850 partes manufacturadas contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Del lote se escogen...