Probabilidades

PROBABILIDAD
Espacios de probabilidad.-
El espacio de probabilidad (o espacio muestral) asociado a un experimento aleatorio, es el conjunto de los resultados posibles del mismo, o cualquier conjunto que los contenga.
Se lo denota tradicionalmente con la letra Ω (Omega).
El modelo matemático creado durante el primer tercio del siglo XX para estudiar los experimentos aleatorios es el asíllamado espacio de probabilidad.
Este modelo consiste de una terna ordenada, denotada usualmente por (Ω, F, P), en donde Ω es un conjunto arbitrario, F es una σ-´algebra de subconjuntos de, y P es una medida de probabilidad definida sobre F.
Explicamos a continuación brevemente cada uno de estos elementos.
* Espacio muestral. El conjunto Ω es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tienecomo objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en cuestión. No es imprescindible darle esta interpretación al conjunto Ω, y matemáticamente se le considera entonces como un conjunto arbitrario.

* σ-álgebra. Una clase o colección no vacía F de subconjuntos de Ω es una σ-álgebra si es cerrada bajo las operaciones de tomar complementos y uniones numerables. Eltérmino σ-´algebra se lee “sigma-´algebra”. A los elementos de una σ-´algebra se les llama eventos, sucesos, o conjuntos medibles.

Debido a su uso extendido, se usa el término medible, aunque tal vez lo correcto sea decir mensurable. En particular, un evento es simple o elemental si consta de a lo más un elemento de Ω, y es compuesto cuando consta de dos o más elementos de Ω.

* Medida deprobabilidad. Una función P definida sobre una σ-´algebra F y con valores en el intervalo [0, 1] es una medida de probabilidad si P() = 1 y es σ-aditiva, es decir, si cumple que

Cuando A1, A2,. . . son elementos de F que cumplen con la condición de ser ajenos dos a dos, esto es, Ai ∩ Aj = ∅ para valores de i y j distintos.
El número P(A) representa una forma de medir la posibilidad de observarla ocurrencia del evento A, al efectuar una vez el experimento aleatorio.
Tenemos entonces formalmente la siguiente definición.

Definición. (Espacio de probabilidad). Un espacio de probabilidad es una terna (Ω, F, P), en donde es un conjunto arbitrario, F es unaσ-´algebra de subconjuntos de, y P es una medida de probabilidad definida sobre F.

El objetivo es asociar un espacio deprobabilidad al experimento aleatorio de interés. No existen reglas establecidas para ello y además la posible asignación no es ´única, pues dependiendo del interés del observador, se puede asociar un espacio de probabilidad u otro. En este primer capítulo se estudian con más detalle los conceptos de σ-´algebra y medida de probabilidad.

Propiedades de la Probabilidad.-

Análisis Combinatorio.-Combinación: Es un arreglo de objetos sin importar el orden. El número de combinaciones de n objetos tomados en grupos de k objetos es:


Ejemplo3: ¿Cuántas muestras distintas de tamaño 5 puede seleccionar de una población de tamaño 20?

Solución:

Probabilidad Condicional o Independencia.-

Supongamos que estamos estudiando el rendimiento de los alumnos de la materia
Probabilidad yEstadística en un determinado examen.
De un relevamiento surge que:
· El 80% de los alumnos estudió para el examen
· El 75% de los alumnos aprobó el examen
· El 15% de los alumnos no estudió para el examen y no lo aprobó.
Si definimos el experimento de tomar un alumno al azar, y llamamos A al suceso "el alumno tomado aprobó el examen" y B al suceso "el alumno tomado estudió para el examen",entonces tenemos que:
P(A) = 0.75
P (B) = 0.8
P(A Ç B) = 0.15
Con estos datos y considerando que P (E) = 1, ya podemos hacer el diagrama de Venn correspondiente y conocer las probabilidades de todas las regiones.
Por ejemplo, si quisiéramos evaluar el nivel de los profesores y las clases, nos puede interesar responder la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que haya estudiado...