Probabilidades

La teoría de la probabilidad es un modelamiento matemático del fenómeno del azar oaleatoriedad. DIAGRAMA DE ARBOL.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino),tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?

N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B


A
N
F B A
B
AB
B
O A

B


Si contamostodas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
TEOREMA DE BAYES

Sea un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,
= A1A2A3.....An
A1 |

A1 |

A2 |

A2 |

A3 |

A3 |

A4 |

A4 |

An |

An |

|

|

B |

B|

Luego si ocurre un evento B definido en , observamos que;
B = B = (A1A2A3.....An)B = (A1B)(A2B)(A3B).....(AnB)
Donde cada uno de los eventos AiB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que
p(B) = p(A1B) + p(A2B) + p(A3B) +......+ p(AnB)
y como la p(AiB) = p(Ai)p(BAi) , o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación paraprobabilidad condicional, luego;
p(B) = p(A1)p(BA1) + p(A2)p(BA2) + p(A3)p(BA3) + p(An)p(BAn)
Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.
Ejemplos:
1. 1. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de unaempresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en lamáquina C?
Solución:
Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol;

8% D
43% A
92% ND

26% B 2% D
98% ND

31% C 1.6% D

98.4% ND

a. a. Definiremos los eventos;
D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A
B = evento de que el producto seafabricado por la máquina B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

P(BD) = p(BD)/p(D) = p(B)p(DB)/p(A)p(DA) + p(B)p(DB) + p(C)p(DC)
P(BD) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 + 0.31*0.016)
= 0.0052/0.04456
=0.116697

b. b. ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A
B = evento deque el producto sea fabricado por la máquina B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

P(CND)=p(CND)/p(ND)=p(C)p(NDC)/p(A)p(NDA) + p(B)p(NDB) + p(C)p(NDC)
= 0.31*0.984/(0.43*0.92 + 0.26*0.98 + 0.31*0.984)
= 0.30504/0.95544
=0.31927
INDEPENDENCIA
Se dice que un evento B es independiente de un evento A, si p(BA) = p(B), esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra B noes afectada por la ocurrencia del evento A, la expresión anterior se puede sustituir en el teorema de la multiplicación para probabilidad condicional,

p(AB) = p(A)p(BA) = p(A)p(B)
Luego,
p(AB) = p(A)p(B) Concepto de independencia
Si la expresión anterior se cumple, podemos decir que los eventos A y B son independientes.
Ejemplos:
Pruebas repetidas e independientes.
Sea el espacio...