Probabilidades

Problema N°2: Una Central Telefónica (Tiempo Estimado: 30 [min])
En una central telefónica el proceso de recepción de llamadas puede considerarse como un proceso Poisson con un promedio de tiempoentre llamadas de 10 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran menos de cinco minutos antes de recibir la primera llamada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo quetranscurre entre la segunda y la tercera llamada esté entre 5 y 15 minutos?
c) Determine la longitud de un intervalo de tiempo para que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso detiempo sea de un 90%. Compruébelo.
d) Si no se ha recibido ninguna llamada en 10 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que haya que esperar menos de cinco minutos para recibirla?
e) ¿Cuál es laprobabilidad de que no se reciban llamadas en los intervalos de las 10:00 a las 10:05, de las 11:30 a las 11:35 y de las 14:00 a las 14:05 horas?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que se recibanexactamente cuatro llamadas en un minuto?
g) ¿Cuál es el tiempo promedio que hay que esperar para recibir la quinta llamada?

Nota del problema N°2: Defina en cada inciso la v.a. que va a utilizar, asícomo la distribución que sigue ésta. Sea claro en el desarrollo de sus expresiones algebraicas que lo llevarán a concluir en sus resultados. Utilice cuatro decimales en todos sus cálculos.Solución:

a) Sea T: el tiempo transcurrido hasta recibir la primera llamada (medido en minutos)
Del enunciado se desprende que

Luego la probabilidad pedida es:

b) Sean T: el tiempo transcurridoentre la segunda y la tercera llamada (medido en minutos)

c) Sea T: el tiempo transcurrido hasta recibir una llamada (medido en minutos)

La condición pedida es:

Comprobación:
Sea X: elnúmero de llamadas recibidas en un lapso de tiempo de 23,0259 [min.]

Luego, la probabilidad de que se reciba el menos una llamada en ese lapso de tiempo es:

d) Usando la misma v.a. T definida en...