Probabilidades

Probabilitat
Índex
-Introducció
-Coneixements previs
-Unio de conjunts
-Intersecció de conjunts
-Subconjunt
-Parts d’un conjunt
-Aplicacions
-Combinatòria
-Conceptes importants previs a la probabilitat
-Experiència aleatòria
-Esdeveniment elemental
-Espai mostral
-Esdeveniment
-Conjunt d’esdeveniments
-Esdeveniment segur
-Esdeveniment impossible
-Esdevenimentsincompatibles
-Esdeveniments contraris
-Frequències
-Freqüència absoluta
-Freqüència relativa
-Probabilitat
-Definició
-Propietats de la probabilitat
-1a Probabilitat de l’esdeveniment contrari
-2n Probabilitat de l’esdeveniment impossible
-3r Regla de Laplace
-4t Teorema de la probabilitat total
-5a Probabilitat condicionada
-Probabilitat Condicionada Ampliació-Probabilitat Condicionada
-Esdeveniments independents
-Probabilitat de la intersecció de dos esdeveniments
-Taules de contingència.
-Teorema de la probabilitat total
-Teorema de Bayes
-Exercicis
-Solucions dels exercicis

Probabilitat
Introducció

Les matemàtiques i concretament els números, serveixen per processos de mesura. Així diem, per exemple, la mesura d’un camp de futbol ésde 96 metres, la capacitat d’una bota 225 litres, el temps que triga en arribar la llum del sol és de 500 segons a una velocitat de 3.108 metres per segon. Totes aquestes maginituts estan lo suficientment ben definides perquè tot el mon pugui saber el què mesuren i el significat de cada valor numèric (longitut, capacitat, temps, velocitat). Hi ha un altre tipus de magnituts que no són fàcilmentsusceptibles d’ésser mesurades, com podenser: la bellesa, l’olor d’un perfum.

Aquí el que anem a tractar és de definir una magnitut que pugui mesurar un concepte que en principi pugui semblar mal mesurable. A aquesta nova magnitut en direm probabilitat i el que tracta de mesurar és la certesa de que pugui passar o no un cert esdeveniment.

De la mateixa manera que un camp de futbol que mesurimés metres que un altre diem que és més llarg, un esdeveniment més probable que un altre voldrà dir que és més segur que passi. Dit d’una altra manera si realitzem un nombre de vegades una experiència és produira més vedades el resultat amb major probabilitat. Ja en llenguatge comú quan diem que una cosa és més probable que una altra volem indicar que la primera és més segur que passi que lasegona.

De fet el que tractem aquí és matematitzar un concepte, es a dir no ens conformem amb dir que una cosa és més probable que una altra, sinó en quina quantitat (mesura), quin nombre de vegades es produirà un esdeveniment més que un altre. És com si volguéssim mesurar la bellesa i poguéssim dir que una flor és dues vegades més maca que una altra flor.

Coneixements previs
Aquí anem a dirquins coneixements anteriors són necesaris per desenvolupar el tema, es convenient que el lector ñes refresqui a la seva memòria. Portant-li els seus significats i propietats.

A partir d’aquí, en general, cada concepte nou el definirem en llenguatge “normal”, en llenguatge matemàtic i veurem exemples, en alguns casos hi haurà exercicis complementaris.

Unio de conjunts: Donats dos conjunts A iB, el conjunt AB és un nou conjunt format per tots els elements d’A i els de B.

Intersecció de conjunts: Donats dos conjunta A i B, el conjunt AB és un nou conjunt format per tots els elements comuns d’A i B

Subconjunt: Donat un conjunt A, direm que S és un subconjunt de A si tots els elements de S pertanyen a A.

Parts d’un conjunt: Donat un conjunt A, formarem un nou conjunt anomenatParts d’A P(A) que està format per tots els subconjunts de A.

Exemple:
A = {1, X, 2} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1-AB = {1, X, 2, 3, 4, 5, 6}

2- AB = {1, 2}

3-Exemples de subconjunts d’A: {1}; {1, 2}; {X, 2}

4- Parts d’A P(A) = {, {1}, {X}, {2}, {1, X}, {1, 2}, {2, X}, {1, X, 2}}

Aplicacions: Donat dos conjunts A i B una aplicació de A en B és una correspondència de manera que...