Probabilidades

Estadística Empresarial II

1

ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II
PROBLEMAS RESUELTOS
1º) Sea X la variable aleatoria número de trabajadores de un pequeño comercio e Y el número
de trabajadores que no pertenecen a la familia propietaria del mismo, con la siguiente ley de
probabilidad conjunta:
Y
X

0
2/9
1/9
0

1
2
3

1
1/9
2/9
1/9

2
0
0
2/9

a) Calcular las leyes deprobabilidad marginales.
b) Calcular la probabilidad de que Y sea mayor que X.
c) Calcular el coeficiente de correlación.
SOLUCIÓN
a)
Y
X
1
2
3
p(Y=y)

0
2/9
1/9
0
3/9

1
1/9
2/9
1/9
4/9

2
0
0
2/9
2/9

p(X=x)
3/9
3/9
3/9
1

b) p(Y > X) = p(X = 1, Y = 2) = 0
c) ρ (X,Y) =

Cov(X,Y)
σX σY

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y) =

3
3
3
E(X) = 1 + 2 + 3 = 2 ;
9
99

20
84
−2 =
9
99

3
4
28
E(Y) = 0 + 1 + 2 =
9
9
99

1
2
1
2 20
E(XY) = 1 × 1 + 2 × 1 + 3 × 1 + 3 × 2 =
9
9
9
99

Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 =

42
2
− 22 =
9
3

ya que : E(X2) = 12

3
3
3 42
+ 2 2 + 32 =
9
9
9
9

2

Problemas resueltos

2

12  8 
44
−  =
9  9
81

Var(Y) = E(Y2) - [E(Y)]2 =

ρ (X,Y) =

por tanto:

ya que : E(Y2) =0 2

Cov(X,Y)
=
σX σY

4
9
2
3

3 24
2 12
+1
+ 22 =
9
9
99

= 0,7385.

44
81

2º) Un grupo de empresas destina sus beneficios a una inversión (bien en tecnología, en
cartera, etc.) y a pago de dividendos entre los accionistas. Sean:
X = “Porcentaje destinado a nuevas inversiones” (tanto por uno)
Y = “Porcentaje destinado a pago de dividendos” (tanto por uno)
confunción de densidad conjunta:

k 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
f X ,Y ( x, y) = 
 0 en el resto
a) Obtener k para que fX,Y(x,y) sea función de densidad.
b) Obtener las funciones de densidad marginales, las funciones de distribución marginales y
determinar el tipo de distribución que sigue cada una de ellas, si es posible.
c) ¿Podemos afirmar que el porcentaje destinado a inversiones tiende a ser pequeño?
d)¿Son independientes X e Y?
e) ¿Qué porcentaje debemos esperar que se destine a nuevas inversiones?
f) Supongamos que el porcentaje dedicado al reparto de dividendos es el 45%. ¿Cuál será la
probabilidad de que el porcentaje para las nuevas inversiones sea superior al 50%?
SOLUCIÓN
a) La representación gráfica del recinto donde es positiva la función de X e Y es la siguiente:
Para calcular elvalor de la constante k que hace que el volumen sea uno:
1

∫∫

x

00

k dy dx = k ∫ [ y]0 dx = k ∫
1

x

0

⇒

1

0

1

 x2 
k
=1
x dx = k   =
2
 2 0

k=2

b) Las funciones de densidad marginal y las distribuciones que siguen son:
f X ( x) =

∫

x

0

2 dy = [2y]0 = 2x, 0 < x < 1
x

⇒

X → β(2,1)

Estadística Empresarial II

fY ( y ) =∫

1

y

3

1
2 dx = [ 2x] y = 2 (1 − y), 0 < y < 1 ⇒ Y → β(1,2)

Las funciones de distribución marginales son:


0
x≤0
x
FX ( x) = ∫ 2 t dt 0 < x < 1
0

1
x ≥1


0

= x 2
1


0
y≤0

y
FY ( y) = ∫ 2 (1 − t) dt 0 < y < 1
0

1
y ≥1


x≤0
0< x 0

y>0

por tanto: f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y)

∀x, y

⇒ las variables X e Y sonindependientes.

b) Puesto que son independientes ya sabemos que la covarianza es cero, pero vamos a comprobarlo.
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y)
∞

∞

−∞

0

E(X) = ∫ xf X (x) dx = ∫ x e − x dx = 1 ;
E(X.Y) =

de donde:

∞

∫∫

∞

−∞ −∞

x y f X,Y (x, y) dx dy =

E(Y) = 1 de la misma forma.
∞

∞

0

0

∫∫

x y e − x e − y dx dy =

∫

∞

0

∞

x e − x dx ∫ y e − ydy = 1x1 = 1
0

Cov(X,Y) = 1 - 1x1 = 0

4º) Un empresario desea montar una cafetería. En dicho local sólo se venderán dos marcas de
cola: Coca-Cola y Pepsi-Cola. Para ello ha realizado un estudio sobre cual es la demanda de
bebidas de cola en el barrio donde va a situar el local. Como resultado del estudio se deduce
que la demanda conjunta semanal de ambas, tiene la siguiente función...