Probabilidades
Páginas: 12 (2889 palabras)
Publicado: 1 de julio de 2012
UTALCA
UNIVERSIDAD DE TALCA
EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOS
Probabilidades
1.
a.
Suponga que se elige una carta de un grupo de veinte, que contiene diez cartas rojas y diez azules numeradas del 1 al 10. Se definen los siguientes sucesos: A={Se elige una carta con número par}. B={Se elige una carta azul}. C={Se elige una carta con número menor que 5}. Describa el espacio muestral(S) y cada uno de los siguientes sucesos en términos de subconjuntos: A∩B∩C. ∩ ∩ Solución: A=carta Azul. R=carta Roja. Descripción del Espacio Muestral S: S={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10}. Descripción de los Sucesos A, B y C: A={A2, A4, A6, A8, A10, R2, R4, R6, R8, R10}. B={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 A10}. C={A1, A2, A3, A4, R1, R2, R3,R4}. Luego: A∩B∩C={A2, A4}. ∩ ∩
b.
B∩Cc. ∩ Solución: B∩Cc={A5, A6, A7, A8, A9, A10}. ∩
c.
A∪B∪C. ∪ ∪ Solución: A∪B∪C={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, ∪ ∪ R8, R9, R10}.
d.
A∩(B∪C). ∩ ∪ Solución: B∪C={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4}. ∪ Luego: A∩(B∪C)={A2, A4, A6, A8, A10, R2, R4}. ∩ ∪
EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOSPágina 1
e.
Ac∩Bc∩Cc. Solución: Ac∩Bc∩Cc={R5, R7, R9}.
2. a.
Cuatro personas entran a un vagón del metro en el que hay 40 asientos desocupados. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse? Solución: 40 asientos y 4 personas. Importa el orden de su ubicación: 40! = 37 ∗ 38 ∗ 39 ∗ 40 = 2193360 40 P4 = (40 − 4)!
b.
Si hay 16 asientos dobles y 8 simples, ¿De cuántas maneraspueden sentarse si las dos personas que entran primero deben quedar juntas? Solución:
32 P1
∗ P1 ∗
38 P2
= 32 ∗ 38 ∗ 37 = 44992
3.
Se sabe que 2/3 de los alumnos del M.B.A. son menores de 30 años. Se sabe además que 3/5 del total de alumnos son hombres. Por último, se sabe que 5/8 del total son mujeres ó mayores de 30 años. Se desea seleccionar un delegado del curso para que representelos intereses de los alumnos ante la Dirección del Programa. ¿Cuál es la probabilidad que el delegado sea mujer y menor de 30 años? Solución: Sean los siguientes sucesos: M={el alumno es menor de 30 años} MC={el alumno es mayor de 30 años}. H={el alumno es hombre} HC={el alumno es mujer}. Se tiene que: 2 3 5 P(B) = P(H) = P(MC ∪ HC ) = 3 5 8 Se pide: P(M∩HC). Se cumple que: (MC∪HC) = (M∩H)C.Entonces: 5 P(MC ∪ HC ) = P (M ∩ H)C = 1 − P(M ∩ H) = 8 3 ⇒ P(M ∩ H) = 8 2 3 7 Pero, P(M ∩ HC ) = P(M) − P(M ∩ H) = − = = 0.2917 3 8 24
[
]
4. a.
Una urna contiene 20 fichas rojas, 30 blancas y 50 azules. Calcule la probabilidad de: Obtener una ficha roja y una azul al extraer dos fichas con reposición.
EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOS
Página 2
Solución: Sean los siguientessucesos: R1 = {sale ficha roja en la primera extracción}. R2 = {sale ficha roja en la segunda extracción}. Se pide: C C C C P R1 ∩ R2 ∪ R1 ∩ R2 = P(R1 ∩ R2 ) + P(R1 ∩ R2 ) =
[(
) (
)]
= P(R1 ) =
b.
C ∗ P (R2
C C / R1 ) + P(R1 ) ∗ P(R2 / R1 ) =
20 50 50 20 1 ∗ + ∗ = = 0.20 100 100 100 100 5
Obtener una ficha roja y una azul al extraer dos fichas sin reposición. (20/99). Solución:Se pide: C C P R1 ∩ R2 ∪ R1 ∩ R2
[(
) (
)] = P(R
1
C C ∩ R2 ) + P(R1 ∩ R2 ) =
C C C = P(R1 ) ∗ P (R2 / R1 ) + P(R1 ) ∗ P(R2 / R1 ) =
=
c.
20 50 50 20 20 ∗ + ∗ = = 0.2020 100 99 100 99 99
No extraer ninguna ficha roja al seleccionar 10 con reposición. Solución: Se pide:
C C C C P(R 1 ∩ R 2 ∩ R 3 ∩ .... ∩ R 10 ) = C C C C C C C C C C = P(R 1 ) ∗ P(R 2 / R 1 ) ∗ P(R 3 / R1 ∩ R 2 ) ∗ ..... ∗ P(R 10 / R 1 ∩ R 2 ∩ R 3 ∩ .... ∩ R C ) = 9
=
80 80 80 80 80 ∗ ∗ ∗ .... ∗ = 100 100 100 100 100
10
= (0.8)10 = 0.1074
5.
Una persona ha olvidado el último dígito de un número telefónico y decide marcarlo al azar. ¿Cuál es la probabilidad que ella deba marcar a lo más tres veces para dar con el número? Solución: Sea A={la persona no ubica el...
UNIVERSIDAD DE TALCA
EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOS
Probabilidades
1.
a.
Suponga que se elige una carta de un grupo de veinte, que contiene diez cartas rojas y diez azules numeradas del 1 al 10. Se definen los siguientes sucesos: A={Se elige una carta con número par}. B={Se elige una carta azul}. C={Se elige una carta con número menor que 5}. Describa el espacio muestral(S) y cada uno de los siguientes sucesos en términos de subconjuntos: A∩B∩C. ∩ ∩ Solución: A=carta Azul. R=carta Roja. Descripción del Espacio Muestral S: S={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10}. Descripción de los Sucesos A, B y C: A={A2, A4, A6, A8, A10, R2, R4, R6, R8, R10}. B={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 A10}. C={A1, A2, A3, A4, R1, R2, R3,R4}. Luego: A∩B∩C={A2, A4}. ∩ ∩
b.
B∩Cc. ∩ Solución: B∩Cc={A5, A6, A7, A8, A9, A10}. ∩
c.
A∪B∪C. ∪ ∪ Solución: A∪B∪C={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, ∪ ∪ R8, R9, R10}.
d.
A∩(B∪C). ∩ ∪ Solución: B∪C={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, R1, R2, R3, R4}. ∪ Luego: A∩(B∪C)={A2, A4, A6, A8, A10, R2, R4}. ∩ ∪
EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOSPágina 1
e.
Ac∩Bc∩Cc. Solución: Ac∩Bc∩Cc={R5, R7, R9}.
2. a.
Cuatro personas entran a un vagón del metro en el que hay 40 asientos desocupados. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse? Solución: 40 asientos y 4 personas. Importa el orden de su ubicación: 40! = 37 ∗ 38 ∗ 39 ∗ 40 = 2193360 40 P4 = (40 − 4)!
b.
Si hay 16 asientos dobles y 8 simples, ¿De cuántas maneraspueden sentarse si las dos personas que entran primero deben quedar juntas? Solución:
32 P1
∗ P1 ∗
38 P2
= 32 ∗ 38 ∗ 37 = 44992
3.
Se sabe que 2/3 de los alumnos del M.B.A. son menores de 30 años. Se sabe además que 3/5 del total de alumnos son hombres. Por último, se sabe que 5/8 del total son mujeres ó mayores de 30 años. Se desea seleccionar un delegado del curso para que representelos intereses de los alumnos ante la Dirección del Programa. ¿Cuál es la probabilidad que el delegado sea mujer y menor de 30 años? Solución: Sean los siguientes sucesos: M={el alumno es menor de 30 años} MC={el alumno es mayor de 30 años}. H={el alumno es hombre} HC={el alumno es mujer}. Se tiene que: 2 3 5 P(B) = P(H) = P(MC ∪ HC ) = 3 5 8 Se pide: P(M∩HC). Se cumple que: (MC∪HC) = (M∩H)C.Entonces: 5 P(MC ∪ HC ) = P (M ∩ H)C = 1 − P(M ∩ H) = 8 3 ⇒ P(M ∩ H) = 8 2 3 7 Pero, P(M ∩ HC ) = P(M) − P(M ∩ H) = − = = 0.2917 3 8 24
[
]
4. a.
Una urna contiene 20 fichas rojas, 30 blancas y 50 azules. Calcule la probabilidad de: Obtener una ficha roja y una azul al extraer dos fichas con reposición.
EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD DOS
Página 2
Solución: Sean los siguientessucesos: R1 = {sale ficha roja en la primera extracción}. R2 = {sale ficha roja en la segunda extracción}. Se pide: C C C C P R1 ∩ R2 ∪ R1 ∩ R2 = P(R1 ∩ R2 ) + P(R1 ∩ R2 ) =
[(
) (
)]
= P(R1 ) =
b.
C ∗ P (R2
C C / R1 ) + P(R1 ) ∗ P(R2 / R1 ) =
20 50 50 20 1 ∗ + ∗ = = 0.20 100 100 100 100 5
Obtener una ficha roja y una azul al extraer dos fichas sin reposición. (20/99). Solución:Se pide: C C P R1 ∩ R2 ∪ R1 ∩ R2
[(
) (
)] = P(R
1
C C ∩ R2 ) + P(R1 ∩ R2 ) =
C C C = P(R1 ) ∗ P (R2 / R1 ) + P(R1 ) ∗ P(R2 / R1 ) =
=
c.
20 50 50 20 20 ∗ + ∗ = = 0.2020 100 99 100 99 99
No extraer ninguna ficha roja al seleccionar 10 con reposición. Solución: Se pide:
C C C C P(R 1 ∩ R 2 ∩ R 3 ∩ .... ∩ R 10 ) = C C C C C C C C C C = P(R 1 ) ∗ P(R 2 / R 1 ) ∗ P(R 3 / R1 ∩ R 2 ) ∗ ..... ∗ P(R 10 / R 1 ∩ R 2 ∩ R 3 ∩ .... ∩ R C ) = 9
=
80 80 80 80 80 ∗ ∗ ∗ .... ∗ = 100 100 100 100 100
10
= (0.8)10 = 0.1074
5.
Una persona ha olvidado el último dígito de un número telefónico y decide marcarlo al azar. ¿Cuál es la probabilidad que ella deba marcar a lo más tres veces para dar con el número? Solución: Sea A={la persona no ubica el...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.