Probabilidades

Distribuciones Muestrales

1. En un servicio de atención al cliente el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable aleatoria normal con media 10 minutos y desviación estándar 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan en un día concreto. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no superelos 9 minutos?

μ=10
σ=2
X~N10;4
n=25
X~N10;425
PX<9=PZ<9-102425=PZ<-2.5=0.00621

2. Se toma una muestra aleatoria de 100 empleados de una gran compañía. La desviación estándar de los salarios es de 1500 euros.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra no difiera en más de 200 euros de la verdadera media salarial?

b) ¿Qué probabilidad hay de obteneruna muestra de media mayor a 8500 euros si el promedio verdadero de la compañía es de 8200 euros?

n=100
σ=1500

X~Nμ;15002100

a) PX-μ<200=P-200<X-μ<200=P-200150<X-μ150<200150=P-43<Z<43=PZ<43-PZ<-43=0.90824-0.09342=0.81482

b) PX>8500=1-PX<8500=1-PX-8200150<8500-8200150=1-PZ<2=0.02275

3. Se obtiene una muestra aleatoria de tamaño 5 deuna variable aleatoria con distribución N(12;4).

Calcular:

PX>13
Pi=15Xi>70

n=5
μ=12
σ=2

PX>13=1-PX<13=1-PZ<13-1225=1-PZ<1.118=0.119
Y=i=15Xi~N5*12;5*4


Y=i=15Xi~N60;20

PY>70=1-PY<70=PY-6020<70-6020=PZ<2.236=0.98679

4. Sea una población Nμ;4 se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n. Obtener el valor de n tal que: PX>μ+1=0.1PX>μ+1=0.1

PX-μ2n>μ+1-μ2n=0.1

PZ>μ+1-μ2n=0.1

PZ>n2=0.1
1-PZ<n2=0.1

PZ<n2=0.9
n2=1.28
n=6.5536≈7

5. De una población normal N100;202 se extrae una muestra. ¿De qué tamaño ha de ser la muestra para que la media muestral tenga una probabilidad de 0.05 de superar el valor 120?

Idem 4).

6. Sea una población normal con media μ y varianza 16

a)Extraída una muestra de tamaño 16, calcular la probabilidad de que:

i. La media sea mayor que μ + 2.
ii. Este comprendida entre μ − 2 y μ + 2

b) Calcular las mismas probabilidades considerando un tamaño muestral de 25 elementos

a) i.
PX>μ+2=PZ>μ+2-μ416=PZ>2=1-PZ<2=0.02275
ii.
Pμ-2<X<μ+2=Pμ-2-μ416<Z<μ+2-μ416=PZ<2-PZ<-2=0.9545
b)
Idem a)7. Supongamos que se va a seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal de media μ y desviación estándar 2. Determinar el mínimo valor de n tal que PX-μ<0.1>0.9

Idem 4.

8. Se realiza una investigación sobre el nivel de delincuencia en un barrio. Se supone que la media de delitos en una semana es de 15, con una desviación estándar de 10. ¿Cuántassemanas seleccionadas aleatoriamente debe contener una muestra para tener una probabilidad de 0,975 de observar una media de delitos superior a 12?

Idem 4.

9. De dos poblaciones normales de media μ y varianza 4,5, se extraen dos muestras de tamaño n. ¿Cuál debe ser el valor de n para que las medias difieran entre sí menos de dos unidades con probabilidad 0,95?

X~Nμ;4.5 Y~Nμ;4.5PX-Y<2=0.95

X-Y~N0;9n

P-2<X-Y<2=0.95

P-2-03n<X-Y-03n<2-03n=0.95

P-2n3<Z<2n3=0.95

PZ<2n3-PZ<-2n3=0.95

1-PZ<-2n3-PZ<-2n3=0.95
1-2PZ<-2n3=0.95

PZ<-2n3=0.025
-2n3=-1.96

n=8.6436≈9

10. Sean X~N150;102 e Y~N100;52. Si tomamos muestras de tamaño 10, se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de X no sea superior a la de Y en45 unidades?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de X sea superior a la de Y en 55 unidades?

a).
PX<Y+45=PX-Y<45

X-Y~N50;12510

PX-Y<45=PX-Y-5052<45-5052=PZ<-2=0.0778
b).

PX>Y+55=PX-Y>55=1-PX-Y<55=1-PZ<2=0.0778

Estimación Puntual

11. Sea x1,x2,…,xn una muestra aleatoria obtenida de una población con función de densidad fx que depende...