PROBABILIDADES

PROBABILIDADES

PROBABILIDADES
Yolanda y Alberto están jugando con un dado cuyas caras
están numeradas del 1 al 6. Pero Alberto es muy tramposo
y ha cambiado el dado por otro que tiene en todas las
caras el 6.
Cuando lance Yolanda su dado,
¿podremos predecir qué número saldrá?.
Cuando lance Alberto su dado,
¿podremos predecir qué número saldrá?.

El experimento de Yolanda es deazar, puesto que
no podemos predecir su resultado.
El experimento de Alberto no es de azar, puesto que
podemos predecir su resultado.
Un experimento es de AZAR si no se puede
predecir su resultado.
Se llaman EXPERIMENTOS ALEATORIOS los que
dan lugar a experimentos de azar.

Ejemplos de Experimentos Aleatorios
E1 : Se lanza un dado dos veces y se anota el
número que sale en la cara superioren ambos
lanzamientos.
E2: Se analizan muestras de tumores , en un
laboratorio, para ver si son benignos o
malignos.
E3: Se cuenta el número de lápices defectuosos
fabricados diariamente.
E4: Se mide la resistencia eléctrica de un
alambre de cobre.

Al conjunto de todos los resultados que pueden
obtenerse al realizar un experimento aleatorio
se le llama
ESPACIO MUESTRAL y se denotapor S ó Ω.

Es posible hacer una especie de analogía entre el
algebra de conjuntos y el algebra de probabilidades.
U Conjunto Universo

Ω o S Espacio Muestral
Ω se llama suceso seguro
P (Ω) = 1

Conjunto A

Suceso o Evento A

A∩B=¢ Conjuntos disjuntos

A∩B=¢ Sucesos mutuamente
excluyentes

A∩B=¢ ^ A U B = U
Conjuntos complementarios

A∩B=¢ ^ A U B =Ω
Sucesos complementariosA =¢ A conjunto vacio

A =¢ A suceso imposible
P(A) = 0

P(A)

Ejercicios
Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes
experimentos aleatorios:

Lanzar tres monedas.
Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas
blancas y tres negras.
El tiempo, con relación a la lluvia durantetres días consecutivos.

Solución
1- Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz,
obtenemos el siguiente espacio muestral:
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
2- E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
3- Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}
4- Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres
díasconsecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

Definición Clásica de Probabilidad
La probabilidad de que ocurra un suceso A,
asociado a un espacio muestral Ω, esta dado
por:
P( A) 

N º de

casos
N º total

O bien:

favorables
de casos

#A
P ( A) 
#

al suceso
posibles

A

Propiedades de las probabilidades1.-

0 P( A) 1
P ( A) 

#A
#

A 

Si A   P ( A) 0
#
Si A   P ( A) 
1
#

2.- P (A) + P(AC) =1

Ejemplo: La probabilidad de tener a un
alumno de sexo femenino en la sala de
clases es 0,55, por lo tanto la probabilidad
de que no sea de sexo femenino es 0,45.
P(M) + P(MC)= 1

3.- Si A y B son sucesos cualesquiera
asociados a un espacio muestral S.
Laprobabilidad de que ocurra el suceso A o
el suceso B está dado por:

P ( A  B ) P ( A)  P ( B )  P ( A  B )

Ejemplo:
En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El
sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de
cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos.
¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al
menos una de estas alarmas?Solución:
Se definen los sucesos
A:”El sistema A funciona”
B:”El sistema B funciona”

P ( A ) 0,7

P( B ) 0,8 P ( A  B ) 0,6

P ( A U B ) 0,7  0,8  0,6 0,9

Definición de Probabilidad Condicional
Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio
muestral, la probabilidad de que ocurra el suceso
A si ocurrió el suceso B, esta dado por:

P( A  B)
P( A / B) 
P( B)

,...