PROBABILIDADES




PROBABILIDADES

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Ejemplo:
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinadointervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplo
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posibleresultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplo:
Al lanzar una moneda salga cara.
Al lanzar una moneda se obtenga 4.












Espacio muestral
Se llama espacio muestral Ω a un conjunto matemático donde cada elementorepresenta un resultado (concreto) de un experimento. Dado que es una imagen matemática (abstracta) de un problema (real) no es necesariamente ´único para un experimento dado, pudiendo por tanto existir diferentes espacios muestrales para un mismo problema.
A cada elemento del espacio muestral se le llama suceso elemental ya que se consideran como los resultados más simples que interesan de unexperimento. Típicamente se desea estudiar características de algunos subconjuntos de sucesos elementales, que reciben el nombre de sucesos. Se dice que un suceso A ocurre cuando el resultado del experimento está asociado a uno de sus sucesos elementales, es decir, A.

Para garantizar rigor en el uso de operaciones algebraicas como la unión y la intersección de conjuntos, la familia de sucesos seextiende con algunos otros subconjuntos (complementos, etc.).

Sobre una pareja (Ω; A) se define una probabilidad como una función
P : A  [0;1]
Dado (Ω; A; P) con Ω ½ A, el espacio muestral Ω se llama equiprobable cuando la probabilidad de todos sus sucesos elementales es la misma. Una importante característica de los espacios muestrales equiprobables es que la probabilidad decualquier suceso suyo se calcula determinando la proporción de sus elementos sobre el total. Intuitivamente:
P (A) =
Cuando Ω sea un conjunto finito esta última idea consiste en un cálculo de cardinales ya que:
P (A) =
Dados dos sucesos A y B de un mismo espacio probabilístico (Ω; A; P) con P (B) > 0, se llama probabilidad condicionada de A dado B a la probabilidad deque ocurra un suceso elemental en A supuesto que ha ocurrido algún suceso elemental de B. Se representa por P (A/B), y sucede que:
P (A/B) =
:
Se dice que A y B son independientes si, y solo si, P(AB) = P(A)P(B).



Ejemplo:

Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto delespacio muestral.
Ejemplo:

Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Un ejemplo completo seria:
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A ={(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}









1 ) Una moneda es lanzada cinco veces. Definir espacios muestrales diferentes de acuerdo a los siguientes objetivos:
1. Solo el número de caras es de...