probabilités

Chapitre I

10 - Lois conditionnelles Conditionnement
I

D´
efinitions

D´
efinition

Soit (X,Y) un couple de VAR de loi de densit´e f(x,y).
Soity ∈ RtqfY (y) > 0.

On appelle loiconditionnelle de X sachant Y=y, la loi de densit´e:
Y =y
(x) =
∀x ∈ R, fX

D´
efinition

f (x, y)
fY (y)

Soit y tq fY (y) > 0? L’esp´erance conditionnelle de X schant Y=y est :
E[X|Y = y] =R

Y =y
x.fX
(x)dx

= m(y)

Proposition : Formules de conditionnement
E[X] =

E[X|Y = y].fY (y)dy
R

=

m(y)fT (y)dy
R

= E[E[X|Y ]]
= E[m(Y )]

Soit A ∈ A (par exemple d´efinitcomme ”(X, Y ) ∈ B”=A)
P (A|Y = y)fY (y)dy(= P ((X, y) ∈ B|Y = y)

P (A) =
R

1

II
1.

Exemples
Exemple 1
Soitf (x, y) =

e

−y− x
y

1R2+ (x, y)CalculerE[X].

y

∞

f (x,y)dy

fX (x) =
0
∞

=

e

−y− x
y

y

0

dy∀x > 0

On calcule :
E[X|Y = y] =?
Loi de Y :
Soity > 0, fY (y) = e

∞

−y

e

−x
y

y

0

dx

Y =y
Loi de X sachantY=y : Soity > 0, soitx > 0, fX
(x) =
1
tielle de param`etre λ
⇒ E[X|Y = y] = y = m(y)

f (x,y)
fY (y)

D’apr`es la formule de conditionnement :
∞

E[X] =

E[X|Y = y]fY (y)dy
0

=

∞yfY (y)dy
0

= E[Y ]
= 1
E[X] = E[E[X|Y ]]
= E[Y ]

On aurait pu reconnaˆıtre :
−y− x
y

Soitf (x, y) =

e

= e

y
−y

1R2+ (x, y)

1R+ (y)

e

−x
y

y

Y =y
= fY(y)fX
(x)

2

1R+ (x)

=

e

−x
y

y

Loi exponen-

2.

Exemple 2

Soit U,V de loi uniforme (0,1) ind´ependantes. Loi de Y=UV ? Deux m´
ethodes :
1. Couplage (”ajouter” X pourobtenir un changement de variables X = φ(U, V ),
Y=UV)
2. Conditionnement : on connaˆıt la loi de Y sachant U=u
M´
ethode 1 {X = U Y = U V φ : {x = uy = uv φ−1 : u = xv =Onobtientunchangementdevariableφ : (0, 1)x(0, 1) → ∆
φestinversibledeD = (O, 1)2 dans∆ = (x, y)/0 < y < x < 1
dx
dx
1 0
dv
Jacφ = du
= x(x > 0)
dy
dy =
X
u
du
dv

y
x

1
(x, y)f(U,V ) (u(x, y), v(x, y))...