Probavilidad

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Permutación
En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estoselementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:
* Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
* En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.
Notaciones

Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.
Laprimera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado {1,...,8} podemos expresar una permutación σ sobre éstemediante una matriz de correspondencias:

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa σ − 1 de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

Notación de ciclos
Existe otra notación máscompacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.
Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:
1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.
Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, σ quedaría expresada como composición de dos ciclos:
σ=(1 3 5 6 )(2 4 7 8)

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos
La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:
σ = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)=(7 8 2 4)(6 1 3 5)
La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando enprimer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en trasposiciones
Una trasposición es una permutación queintercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir demanera unívoca la signatura de una permutación.
Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y...