probDerivadas

DERIVADAS. Problemas con Soluci´
on.
1) Aplica la definici´on de derivada como un l´ımite, para calcular f (2) siendo f (x) = x3 + 2x + 2.
Soluci´on: 1)14.
2) Sea la funci´on f (x) = 3x/(2x − 1), halla la derivada de f en el punto de abcisa −2 usando la
definici´on de derivada.
Soluci´on: 2) − 3/25.
3) La funci´on f (x) = 2 − 3x − 2x2 representa una par´abola. Halla la funci´on derivada usandola
definici´on de derivada. Halla la recta tangente a la par´abola en el punto de corte con el semieje
positivo de abcisas. Representa conjuntamente la par´abola y la tangente. ¿Qu´e pendiente tiene la
tangente?¿En qu´e punto corta al eje de ordenadas?
Soluci´on:
3)f (x) = −3 − 4x; y = −5x − 5/2; −5; (0, 5/2).
4) El v´ertice de una par´abola y = ax2 + bx + c es el punto m´as bajo si a > 0, par´abolac´oncava
hacia arriba, o el punto m´as alto si a < 0, par´abola c´oncava hacia abajo. Demuestra que el v´ertice
de la par´abola tiene de abcisa x0 = −b/(2a), punto en que se anula la derivada. ¿Qu´e coordenadas
tiene el v´ertice?¿Cu´al es el eje de simetr´ıa de la par´abola?
Soluci´on:
−b −b2
−b
4)V
,−
+c ; x=
.
2a
4a
2a
5) Halla el v´ertice de la par´abola y = −x2 /2 + 3x − 1. ¿Cu´al es su ejede simetr´ıa? Halla los puntos
de corte de la par´abola con los ejes coordenados. Observa que los puntos de corte con el eje x son
sim´etricos respecto a la abcisa del v´ertice.
Soluci´on:
√
√
5)V (3, 2); x = 3; (3 − 6, 0); (3 + 6, 0); (0, −1).
6) Sea la funci´on f (x) = x3 + 2x − 1. a) Halla la funci´on derivada. b) Halla los puntos en que la
recta tangente es horizontal. c) Halla los puntos enque√la tangente es paralela a la recta y = 3x + 2.
d) Calcula la recta tangente en el punto de abcisa 1/ 3. e) Representa la c´
ubica, la tangente y la
recta y = 3x + 2.
Soluci´on:
√
−1
7
7
√
√1 , −1 + √
;
;
6d)
y
=
3x
−
1
−
2/(3
6a) 3x2 + 2; 6b) no hay; 6c) √
,
−1
−
3)).
3
3 3
3
3 3
7) Halla la tangente y la normal a la curva y = (x−2)ex en el punto en que corta al eje x. ¿Qu´e ´angulo forma latangente con el eje x? ¿Y la normal, qu´e ´angulo forma con el eje x? ¿Qu´e ´angulo forman
la normal y la tangente entre s´ı?
Soluci´on:
7) t(x) = e2 (x − 2); n(x) = (−x + 2)/e2 ; 1.436 ≈ 82.29; −0.134 ≈ −7.71; π/2 = 90;
√
8) Sea la c´
ubica y = x3 /4 − ax + 1. a) Halla el valor de a para que la tangente en x = 2 2
sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. b) Calcula las rectas tangentes ala curva en los
puntos en que la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. c) Representa la
curva y las tangentes.
1

√
√
Soluci´on: 8a) a = 7; b) t1 (x) = −x + 1 − 8 2; t2 (x) = −x + 1 + 8 2.
9) Sea la funci´on f (x) = −2x2 + 3x − 1. a) Calcula la derivada en el punto x0 = 3. b) Halla las
tasas de variaci´on media de f en los intervalos [3, 3.1], [3, 3.01] y [3, 3.001]. c)Halla las tasas de
variaci´on media de f en los intervalos [2.9, 3], [2.99, 3] y [2.999, 3]. d) ¿Hacia qu´e tienden estas tasas
de variaci´on media conforme el intervalo se hace de menor longitud?
Soluci´on: 9a) −9; 9b) −9.2, −9.02, −9.002; 9c) −8.8, −8.98, −8.998; 9d) tienden a −9 el valor
de la derivada.
10) Se considera la funci´on f (x) = x2 ln x. a) Obt´en la funci´on derivada, y la derivadade f en
x = 1. b) Halla los cocientes incrementales de f en los intervalos [1, 1.01], [1, 1.02] y [1, 1.03]. ¿En
cu´al de estos intervalos el cociente incremental aproxima mejor a la derivada? ¿por qu´e?
Soluci´on: a) f (x) = x + 2x ln x; f (1) = 1; b) 1.01503, 1.03013, 1.0453; en [1, 1.01], pues es el
de menor longitud.
11) Halla las siguientes derivadas simplificando el resultado, (en algunoscasos puede ser conveniente
operar antes de derivar):
√
a)y = x7 /7 + x3 − x2 /2 − 2; b)y = x3 (2x2 − πx + 2); c)y = x(x2 − 1)(3x3 + 2x + 2);
d)y = x−3 + 3x−2 − 2x−1 ;
g)y = 1/(1 + 1/x);

e)y = (x−2 − 3x−1 )((5/2)x−3 − πx−1 );
h)(x3 − 2x2 + x)/(x2 + 1);

f )y = (x + 2)/(x + 2).

i)y = (x−1 + 2)/(x−2 + 2);

Soluci´on:
√
11, a)x(−1 + 3x + x5 ); b)x2 (3 2 − 4πx + 10x2 ); c) − 2 − 4x + 6x2 − 4x3 +...