Probelmas de ecuaciones
Páginas: 13 (3228 palabras)
Publicado: 24 de marzo de 2011
Ecuaciones de 1er Grado
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E CUACIONES DE P RIMER G RADO CON D OS VARIABLES
OBJETIVO Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables, para aplicarlos en la soluci´ n de ejercicios y de problemas extraidos o de la cultura cotidiana y sistem´ tica. a Una ecuaci´ n polinomial de grado uno, puede ser escrita en la foro ma, ax = b, a = 0 donde a y b son n´ meros reales, sellama ecuaci´ n de primer grado u o en ((x)). El conjunto de soluci´ n esta formado de un solo n´ mero, a o u b saber; S = { a }. Un ejemplo sencillo ser´a, 4x = 20, donde la soluci´ n es; ı o 20 S = = {5}. 4
Una ecuaci´ n que puede escribirse en la forma o ax + by = c, donde a, b y c son n´ meros reales, adem´ s a, b no son ambos cero, u a se llama ecuaci´ n de primer grado con dosvariables: ((x)), y ((y)). o El conjunto de soluci´ n, o simplemente la soluci´ n, de la ecuaci´ n o o o anterior es el conjunto de parejas ordenadas S = {(x, y)}
www.matebrunca.com
Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a
Ecuaciones de 1er Grado
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´ DEFINICION Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables ((x)), y ((y)) consta de dos ecuaciones del tipo a1 x + b1 y = c 1 a2 x + b2 y= c 2 de donde a1, b1, c1, a2, b2, y c2 son n´ meros reales. La soluci´ n u o del sistema definido por las dos ecuaciones anteriores es el conjunto de los valores ((x)), y ((y)) que satisfacen ambas ecuaciones. El teorema que sigue nos aclara m´ s sobre las soluciones: a Dado un sistema de ecuaciones en dos variables; uno y s´ lo uno de los siguientes enunciados es verdadero: o i) El sistema tieneexactamente una soluci´ n. o ii) El sistema tiene un n´ mero infinito de soluciones. u iii) El sistema no tiene soluciones. El primer caso se llama sistema consistente y la soluci´ n es un par o ordenado de la forma (x,y), que representa la intersecci´ n de las dos o rectas en el plano cartesiano. El segundo caso se dice que las ecuaciones son dependientes y las rectas son equivalentes. En eltercer caso se dice que el sistema es inconsistente, y graficamente las dos rectas son paralelas. Para efectos de este art´culo el segundo y el tercer caso se tomar´ n ı a como sin soluci´ n, esto a que s´ lo nos interesa los casos en que hay o o intersecci´ n. o TEOREMA
Ecuaciones de 1er Grado
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´ P ROBLEMAS DE A PLICACI ON QUE SE R ESUELVEN POR S ISTEMA DE E CUACIONES S IMULTANEAS DE 2 X 2PROBLEMA 1 La diferencia de dos n´ meros es 14, y 1 de su suma es 13. Hallar los u 4 n´ meros. u ´ S OLUCI ON : Sea x= el n´ mero mayor, u y= el n´ mero menor. u Seg´ n el problema la diferencia de dos n´ meros es igual a 14, se u u escribe x-y=14. As´, 1 (x + y) = 13, ser´a 4 de suma (x+y)es igual a 13. ı 4 ı 1 Da tal manera que las ecuaciones simultaneas son:
x − y = 14 1 (x + y)= 13 4 Despejando y ordenado t´ rminos, tenemos el sistema equivalente e
x − y = 14 x + y = 52 Resolviendo este sistema, obtenemos: x=33 y, y=19. Ahora bien, es recomendable sustituir los valores de x=33 y y=19 en las ecuaciones simultaneas para comprobar que est´ n correctas. a
33 − 19 = 14 33 + 19 = 52
Ecuaciones de 1er Grado
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EJERCICIO 1 1. La diferenciade dos n´ meros es 40, y u los n´ meros. u Resp: x=64 y y=24. 2. La suma de dos n´ meros es 190 y u los n´ meros. u Resp: x=104 y y=86.
1 9 1 8
de su suma es 11. Hallar
de su diferencia es 2. Hallar
3. La suma de dos n´ meros es 1529 y su diferencia es 101. Hallar los u n´ meros. u Resp: x=815 y y=714. 4. Un cuarto de la suma de dos n´ meros es 45 y un tercio de su u diferencia es 4.Hallar los n´ meros. u Resp: x=96 y y=84. u 5. Los 2 de la suma de dos n´ meros son 74 y los 3 es 9. Hallar dichos n´ meros. u Resp: x=63 y y=48.
3 5
de su diferencia
3 6. Los 10 de la suma de dos n´ meros exceden en 6 a 39 y los 5 de su u 6 diferencia son 1 menos que 26. ¿ Qu´ n´ meros son ? e u Resp: x=90 y y=60. 4 7. Un tercio de la diferencia de dos n´ meros es 11 y los 9 del mayor u u...
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E CUACIONES DE P RIMER G RADO CON D OS VARIABLES
OBJETIVO Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables, para aplicarlos en la soluci´ n de ejercicios y de problemas extraidos o de la cultura cotidiana y sistem´ tica. a Una ecuaci´ n polinomial de grado uno, puede ser escrita en la foro ma, ax = b, a = 0 donde a y b son n´ meros reales, sellama ecuaci´ n de primer grado u o en ((x)). El conjunto de soluci´ n esta formado de un solo n´ mero, a o u b saber; S = { a }. Un ejemplo sencillo ser´a, 4x = 20, donde la soluci´ n es; ı o 20 S = = {5}. 4
Una ecuaci´ n que puede escribirse en la forma o ax + by = c, donde a, b y c son n´ meros reales, adem´ s a, b no son ambos cero, u a se llama ecuaci´ n de primer grado con dosvariables: ((x)), y ((y)). o El conjunto de soluci´ n, o simplemente la soluci´ n, de la ecuaci´ n o o o anterior es el conjunto de parejas ordenadas S = {(x, y)}
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Ecuaciones de 1er Grado
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´ DEFINICION Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables ((x)), y ((y)) consta de dos ecuaciones del tipo a1 x + b1 y = c 1 a2 x + b2 y= c 2 de donde a1, b1, c1, a2, b2, y c2 son n´ meros reales. La soluci´ n u o del sistema definido por las dos ecuaciones anteriores es el conjunto de los valores ((x)), y ((y)) que satisfacen ambas ecuaciones. El teorema que sigue nos aclara m´ s sobre las soluciones: a Dado un sistema de ecuaciones en dos variables; uno y s´ lo uno de los siguientes enunciados es verdadero: o i) El sistema tieneexactamente una soluci´ n. o ii) El sistema tiene un n´ mero infinito de soluciones. u iii) El sistema no tiene soluciones. El primer caso se llama sistema consistente y la soluci´ n es un par o ordenado de la forma (x,y), que representa la intersecci´ n de las dos o rectas en el plano cartesiano. El segundo caso se dice que las ecuaciones son dependientes y las rectas son equivalentes. En eltercer caso se dice que el sistema es inconsistente, y graficamente las dos rectas son paralelas. Para efectos de este art´culo el segundo y el tercer caso se tomar´ n ı a como sin soluci´ n, esto a que s´ lo nos interesa los casos en que hay o o intersecci´ n. o TEOREMA
Ecuaciones de 1er Grado
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´ P ROBLEMAS DE A PLICACI ON QUE SE R ESUELVEN POR S ISTEMA DE E CUACIONES S IMULTANEAS DE 2 X 2PROBLEMA 1 La diferencia de dos n´ meros es 14, y 1 de su suma es 13. Hallar los u 4 n´ meros. u ´ S OLUCI ON : Sea x= el n´ mero mayor, u y= el n´ mero menor. u Seg´ n el problema la diferencia de dos n´ meros es igual a 14, se u u escribe x-y=14. As´, 1 (x + y) = 13, ser´a 4 de suma (x+y)es igual a 13. ı 4 ı 1 Da tal manera que las ecuaciones simultaneas son:
x − y = 14 1 (x + y)= 13 4 Despejando y ordenado t´ rminos, tenemos el sistema equivalente e
x − y = 14 x + y = 52 Resolviendo este sistema, obtenemos: x=33 y, y=19. Ahora bien, es recomendable sustituir los valores de x=33 y y=19 en las ecuaciones simultaneas para comprobar que est´ n correctas. a
33 − 19 = 14 33 + 19 = 52
Ecuaciones de 1er Grado
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EJERCICIO 1 1. La diferenciade dos n´ meros es 40, y u los n´ meros. u Resp: x=64 y y=24. 2. La suma de dos n´ meros es 190 y u los n´ meros. u Resp: x=104 y y=86.
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de su suma es 11. Hallar
de su diferencia es 2. Hallar
3. La suma de dos n´ meros es 1529 y su diferencia es 101. Hallar los u n´ meros. u Resp: x=815 y y=714. 4. Un cuarto de la suma de dos n´ meros es 45 y un tercio de su u diferencia es 4.Hallar los n´ meros. u Resp: x=96 y y=84. u 5. Los 2 de la suma de dos n´ meros son 74 y los 3 es 9. Hallar dichos n´ meros. u Resp: x=63 y y=48.
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de su diferencia
3 6. Los 10 de la suma de dos n´ meros exceden en 6 a 39 y los 5 de su u 6 diferencia son 1 menos que 26. ¿ Qu´ n´ meros son ? e u Resp: x=90 y y=60. 4 7. Un tercio de la diferencia de dos n´ meros es 11 y los 9 del mayor u u...
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