problema 3 cuerpos

El problema de los tres cuerpos es uno de esos típicos problemas matemáticos de apariencia sencilla, que encierra una tremenda complejidad, y que ha traído de cabeza a un gran número de importantes matemáticos y físicos.

El origen de dicho problema proviene de la famosa Ley de Gravitación Universal de Newton, cuya bien conocida fórmula nos indica la fuerza gravitatoria atractiva existenteentre dos cuerpos, que es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. También aparece en este problema la segunda Ley de Newton, o principio fundamental de la dinámica, que nos dice que la fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una aceleración directamente proporcional a la masa del mismo.



La conjunción de ambasleyes, expresadas en forma vectorial, nos puede proporcionar la trayectoria de un objeto en órbita de otro, conociendo su posición y velocidad en un instante dado. Esto es el origen de la genial idea de Newton, que concibió, cuenta la leyenda, al caerle una manzana de un árbol. Lo cierto es que la solución a este problema es lo que presenta en su magna obra, de 1687, “Philosophiæ naturalisprincipia mathematica“, donde describe las tres leyes de Kepler como consecuencia directa de aquellas otras dos leyes que él formula. Así, por ejemplo, la primera Ley de Kepler nos dice que los planetas giran en órbitas elípticas en torno al Sol, que está situado en uno de los focos, lo que Newton muestra como una deducción obtenible a partir de su planteamiento. Una demostración muy didáctica einstructiva de esta cuestión fue formulada por Richard Feynman.

Para obtener la trayectoria a partir de las leyes de Newton, basta considerar que la aceleración que proporcionan las mismas, a partir de la fuerza atractiva, corresponde a la derivada de la velocidad, y ésta, a su vez, es la derivada de la trayectoria, ambas con respecto al tiempo. Así pues dicha trayectoria puede ser expresada como unaderivada segunda, lo que nos da una ecuación diferencial de segundo orden . Así formulado, tenemos el que se conoce como problema de los dos cuerpos, cuya solución nos proporciona la posición de cada cuerpo, en función del tiempo. Dicho problema, como se indica, fue resuelto inicialmente por el propio Newton, y para el caso general por Euler, quien lo publicó en 1744 en su tratado Theoria MotuumPlanetarum et Cometarum.

Resuelto el problema para el caso de dos cuerpos, se plantea el de los tres cuerpos, que se presentaba más complicado y que permaneció largo tiempo abierto, desde que fuera enunciado con dicho nombre por Jean d’Alembert. A primera vista no parece demasiado complicado pues, supuesto uno de ellos fijo en el origen de coordenadas, se reduce a calcular la trayectoria de losotros dos, es decir, dos ecuaciones en lugar de una. Sin embargo, la resolución de ecuaciones diferenciales no siempre es fácil, o mejor dicho, casi nunca lo es. Los casos de ecuaciones lineales tienen solución, pero no es así en los casos no lineales, para los cuales no siempre es posible encontrar una linealización.

El problema fue estudiado por numerosos científicos. Un caso particular parael caso de tres cuerpos fue resuelto por Lagrange, quien demostró que existían cinco posiciones que podían ser resueltas, obteniendo lo que desde entonces se conoce como puntos de Lagrange. En su día esto fue una mera curiosidad matemática, pero que ha devenido en un importante resultado astronómico cuando se descubrieron los asteroides troyanos de Júpiter. En la actualidad estos puntos, por susespeciales características, son de suma importancia para colocar en ellos determinados satélites espaciales.

La primera solución de carácter general se debe a Laplace, quien presenta en 1776 su tratado de Mecánica Celeste, donde explica que las anomalías orbitales de Saturno y Júpiter, que tanto preocuparon a Newton, son meras perturbaciones que sólo dependían de la propia Ley de Gravitación, y...