Problema: Cada Nombre X Té Dos Fills

Problema: Cada nombre x té dos fills, el fill x+1 i el fill x/(x+1). Quins són els descendents del nombre 1?
La resposta és: Totnombre racional positiu té un únic representant en la descendència de 1 (i tot descendent és racional, trivialment). Perdemostrar-ho només cal veure que: 1) Tot r ∈ Q+ és descendent d’ 1. 2) Tots els descendents són diferents. El punt 1) es pot justificar: Perqualsevol descendent a/b, els seus fills seran: a/b + 1 = (a+b) / b a/b a/b / (a/b + 1) = a / (a+b) Per tant, en Q+ podem definirla funció: (x-y) / y f(x/y) = x / (y-x) si xy sent x/y un element de Q+

és fàcil veure que sempre l’algorisme acabarà amb x/y =1. És a dir qualsevol racional positiu x/y és descendent de 1. Per demostrar el punt 2): Donat un nombre racional positiu r , comque serà descendent d’ 1, podem definir el camí c(r) com el conjunt de racionals r1, r2, r3, . . ., rn en els quals es vatransformant r fins a ser 1, segons l’algorisme (*) definit en l’apartat anterior, és a dir: c(r) = ⎨r1, r2, . . ., rn ⎬ on n és el númerode passos de l’algorisme (*)

c(r) ha de ser únic ja que f(x/y) és una funció i cada x/y té una única imatge. Per tant, en ladescendència d’ 1 només pot aparèixer r una sola vegada, sinó hi hauria més d’un camí que connectés r amb 1.

Ramon Capsada