Problema De Apolonio

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2.- LOS 10 PROBLEMAS DE APOLONIO

Apolonio de Perga (262 - 190 a.C.), que es conocido por su tratado sobre las cónicas, pero también escribió un tratado sobre Tangencias. En esta obra, describe el problema que hoy es conocido como Problema de Apolonio: “Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o unacircunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados”

Al combinar tres objetos entre: puntos, rectas o circunferencias, resultan los siguientes casos:

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2.1.- Trazado de la circunferencia que pasa por 3 puntos.

1. Teniendo 3 puntos A, B y C no alineados, se trazan los segmentos AB, BC y ACobteniendo un triangulo.
2. Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC. A las mediatrices las denominaremos: M1 y M2.
3. En la intersección de las mediatrices M1 y M2, se marca el punto O.
4. Con centro O y radio OA se dibuja la circunferencia.

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2.2.- Trazado de la circunferencia tangente a 2 puntos y una recta.

Caso 1: Losdos puntos dados A y B están en la recta L, paralela a la recta L1:
1. Se traza la mediatriz del segmento AB, que en su intersección con la recta L1 determina el punto C.
2. Se unen los puntos A, B y C obteniéndose un triángulo.
3. Se trazan las otras dos mediatrices del triángulo, que llamaremos M1 y M2.
4. La intersección de las mediatrices determina el punto O.
5. Seconstruye la circunferencia con centro en O y radio OA.

Caso 2: La recta a la que pertenecen los puntos A y B no es paralela a la recta L.

1. Unimos los puntos A y B, con la recta AB.
2. Obtenemos el punto M, intersección de AB y la recta L.
3. Marcar C punto medio entre A y B, y trazar la circunferencia Ca con centro en C y radio AC.
4. Desde el punto M trazar una tangente a lacircunferencia Ca.
5. Obtener el punto de tangencia T.
6. Trazar la circunferencia Cb con centro M y radio MT.
7. Hallar las intersecciones entre la recta L y la circunferencia Cb, que llamaremos puntos P y Q.
8. Utilizando el método explicado en 2.1. se obtiene la primer circunferencia tangente a los puntos A, B y P, luego también con este método, se obtiene la circunferenciatangente a los puntos A, B y Q.

Caso 3: Cuando uno de los puntos está sobre la recta L.
1. Unir A y B por el segmento AB.
2. Trazar M, mediatriz del segmento AB.
3. Por el punto B, trazar una perpendicular a la recta L.
4. Marcar el punto C, intersección de la mediatriz y la perpendicular a L.
5. Trazar circunferencia con centro C y radio AC.-------------------------------------------------
3. Trazado de la circunferencia tangente a 1 punto y 2 rectas.

Caso 1: Las rectas se cortan y el punto se encuentra entre ellas.
1. Marcar el punto V, intersección de las rectas M1 y L.
2. Trazar la bisectriz B del ángulo formado por las rectas L y M1.
3. Obtener el punto A', punto simétrico a A, con respecto a la bisectriz B.4. Obtener el punto O, punto medio entre A y A'.
5. Trazar una recta que una los puntos A y A', dicha recta corta a la recta L,
determinando el punto M.
6. Con centro en O y radio AA', trazar una circunferencia.
7. Trazar una recta tangente t a la circunferencia del paso anterior que
pase por M, determinando el punto T, puntodonde la recta tangente
t toca a la circunferencia.
8. Trazar una circunferencia con centro en M y radio MT, que determina los
Puntos P y Q, en su intersección con la recta L.
9. Aplicando el método del problema 2.1., se obtienen las dos circunferen-
cias que se buscan, una debe pasar por los puntos P, A y A', y la otra...