Problema De Asignacion

Problema de Asignación

El Problema de la Asignación es un problema clásico de la Investigación de Operaciones y es un caso particular del Problema del Transporte. El Problema de la Asignación se basa en una información comparativa para tomar la decisión de que asignar a que, por ejemplo una matriz de costos, una matriz de tiempos, de ingresos, etc. Cuando la matriz no está balanceada, esdecir, cuando no es cuadrada, cuando sobran filas o columnas, se debe balancear para que tenga solución mediante la inclusión de filas o columnas ficticias, con valores de cero en dicha matriz.
Existen cuatro operarios que se pueden asignar al trabajo con tres máquinas. Un estudio de tiempos y movimientos ha arrojado los siguientes tiempos por operario para las tres máquinas. Indicar que operariodebe trabajar en que máquina y cuál de ellos no será asignado a ninguna.
Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3
Operario 1 10 7 9
Operario 2 7 5 8
Operario 3 9 8 10
Operario 4 8 9 7
Como la matriz no esta balanceada, es necesario incluir una máquina ficticia:(esto es fundamental para asegurar que haya una respuesta. Si la matriz no está balanceada, el problema no será factible de resolver)Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Máquina Ficticia
Operario 1 10 7 9 0
Operario 2 7 5 8 0
Operario 3 9 8 10 0
Operario 4 8 9 7 0
Xij = Se debe asignar el operario i a la máquina j? Sí o no?
En matemáticas existen dos números cuyas propiedades hacen que puedan representar estas respuestas son el 1 y el 0, debido a que todo número multiplicado por 1 da el mismo número entonces el 1 se puede remplazarpor la respuesta Sí y como todo número multiplicado por cero da cero entonces se puede remplazar por la respuesta No.
Así por ejemplo:
10X11 + 7X12 + 9X13 + 0X14
representa el tiempo sumado que emplearía el operario1 en operar las máquinas, pero solo una variable de las tres anteriores puede tomar el valor de Sí, o sea de 1 las demás tendrán que tomar el valor de 0, y eso es debido a que eloperario 1 sólo puede ser asignado a una máquina, lo que significaría que el tiempo que utilice el operario 1 puede ser ya sea de "10" de "7" o de "9". Con base en esto podemos formular la función objetivo:
Min Z = 10X11 + 7X12 + 9X13
7X21 + 5X22 + 8X23
9X31 + 8X32 + 10X33
8X41 + 9X42 + 7X43
Restricciones:
Como cada operario sólo puede estar asignado a una máquina....
X11 +X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
Y como cada máquina solo puede tener un operario asignado...
X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij = 1 o 0 para toda i,j.
Al resolver utilizando Software, por ejemplo el Solver del Excel, la respuesta que se obtienees la siguiente:

Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Máquina Fic.
Operario 1 0 0 0 1
Operario 2 0 1 0 0
Operario 3 1 0 0 0
Operario 4 0 0 1 0
Esto significa que el Operario 1 queda asignado a la Máquina Ficticia (es decir, es el que sobra), el operario 2 se asigna a la máquina 2, el operario 3 se asigna a la máquina 1 y el operario 4 se asigna a la máquina 3.
Modelo Matemático del Problema deAsignación
Solución del Problema de Asignación
La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a las demandas totales.
* Método Húngaro
Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el empleado para resolver el problema deltransporte por el alto grado de degeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Las fases para la aplicación del método Húngaro son:
Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A...