Problema De Ecuaciones

Ejemplo 5. Un cohete con masa estructural m1, contiene combustible de masa inicial m2; se dispara en línea recta hacia arriba, desde la superficie de la tierra,quemando combustible a un índice constante a (es decir, dm/dt = −a, donde m es la masa variable total del cohete) y expulsando los productos de escape hacia atras, a unavelocidad constante b en relación al cohete. Si se desprecian todas las fuerzas exteriores excepto la fuerza gravitacional mg, donde g la suponemos constante; encontrar lavelocidad y la altura alcanzada en el momento de agotarse el combustible (velocidad y altura de apagado).
Solución:
Como dm/dt = −a ⇒ m = −at + C1
En t = 0, m = m1 +m2 luego m1 + m2 = −a 0 + C1 por tanto,
C1 = m1 + m2, ⇒ m = m1 + m2 − at
Como ω = −b entonces,
mdv/dt=−mg –bdm/dt⇒ mdv/dt= −mg − b(−a)
o sea que, mdv/dt = −mg + abReemplazo m: (m1 + m2 − at)dv/dt = −(m1 + m2 − at)g + ab
dividiendo por m1 + m2 − at:dv/dt = −g +(ab/m1+m2−at) luego
v = −gt –(ab/a)ln|m1 + m2 − at| + C2 = −gt − bln |m1 + m2 − at| + C2
Condiciones iniciales: en t = 0, v = 0 ⇒ 0 = 0 − b ln |m1 + m2| + C2
por tanto C2 = b ln |m1 + m2|
v = −gt−bln|m1 + m2 − at| + b ln |m1 + m2|= −gt + b ln|(m1 + m2)/(m1 + m2 – at)|
Pero teníamos que m = m1+m2−at y como el tiempo de apagado se produce cuando m = m1 ya que no hay combustible, es decir, m1 =m1 + m2 − at.
Por tanto at = m2 ⇒ t =m2/a o sea que cuando t =m2/a ⇒ v = velocidad de apagado.
Sustituyendo, queda que
v = −gm2/a+ bln|(m1 + m2)/(m1 + m2 – a m2/a)|luego v = −m2g/a + b ln h|(m1+m2)/(m1)|
De la misma manera se encuentra que hā = altura alcanzada al acabarse el combustible=(−m2²g/2a²)+(bm2/a)+(bm1/a)ln(m1/m1 + m2)