Problema De Estadística

Problema de Estad´ ıstica
14 de diciembre de 2012 Problema 1
Elegimos un punto X al azar en el intervalo (0,1) y consideramos la variable aleatoria discreta Y: parte entera de 1/X.

1. Calcula lafunci´n de probabilidad de Y. Calcula la esperanza de Y. o o 2. Calcula la Probabilidad de A = {Y < 5}, y la funci´n de probabilidad de Y | A, su media y su desviaci´n. o

1

1.

Calcula lafunci´n de probabilidad de Y. Calo cula la esperanza de Y.

Para calcular la funci´n de densidad tenemos que realizar algunas consideo raciones acerca de nuestro problema. En primer lugar, a partirdel enunciado podemos asegurar que la variable aleatoria Y puede tomar cualquier valor del intervalo (1 , ∞) ya que X tiene valores comprendidos en el rango (0 , 1). Por tanto, para calcular la funci´nde probabilidad de Y debemos considerar los o intervalos de X que generan un valor Y dado. Si recorremos X desde el valor 1 hasta cero tenemos: X (0,5 , 1) (0,33 , 0,5] (0,25 , 0,33] (0,2 , 0,25] ···Y 1 2 3 4 ··· P(Y) 1/2 1/6 1/12 1/20 ···

Cuadro 1: Intervalos de X y su correspondencia en Y.

Pero como sabemos, la variable X est´ formada por n´meros aleatorios, los cuaa u les se distribuyenen el intervalo (0, 1) con igual probabilidad. De esta forma, un resultado de la variable aleatoria Y ser´ tanto m´s probable cuando mayor a a sea el rango de X que genere ese resultado. Por ejemplo,observando la tabla anterior podemos decir que la probabilidad de Y = 1 es igual a 0.5 ya que la mitad del intervalo en X genera ese Y. A partir de los razonamientos anteriores, es f´cil expresar ladensidad de proa babilidad de Y de forma te´rica: o P (Y ) = 1 1 1 − = 2 Y Y +1 Y +Y (1)

Para calcular la esperanza de Y solo tenemos que realizar la siguiente suma, ya que Y es una variablediscreta: E(Y ) =
∞ ∑ Y =1 ∞ ∑ 1 Y = Y2+Y Y +1 Y =1

(2)

La esperanza se Y ser´ por tanto el resultado de realizar la suma de la serie (2). a Que es claramente no convergente.

2

2.

Calcula...