Problema De Mate Aplicada Tocto

Problema 2.31 : Sea f (z) = u (x; y) + iv (x; y) es una funcion analtica,
dada u (ov) la funcion v(ou) esta denida salvo una constante .Por lo tanto,el
conocimiento de u(o v) dene a fsalvo una constante. Demostrar que:
1) f (z) = 2u ((z  2;iz  2)) + constante
2) f (z) = 2iv ((z  2;iz  2)) + constante
y donde la constante a determinar , mediante la identicacion porejemplo
puede ser nula. De esta manera, toda funcin analtica queda denida, salvo una
constante arbitraria, por el conocimiento de se parte real o imaginaria.
RESOLUCION:
Segun elenunciado obtenemos F(Zo) = Co
Si f (z) es analitica, se puede denir que es analitica en Zo y por ende se
puede escribir como una serie de Potencias.
F (z) =
X
n=0
Cn (Z Z0)n
Como Re(f (z))= u (x; y)
u (x; y) =
f (z) + f (z)
2
=
C0 + C0
2
+
X
n=1

Cn
2
[(x x0) + i(y y0)]n + [(x x0) i(y y0)]n

Esta es una serie en las variables reales x e y , pero podemosinterpretarla
como serie en variables complejas x e y. En caso , si la particularizamos:
x = xo +
Z Z0
2
;
y = y0 +
Z Z0
2i
Resulta
u(x0+
(Z Z0)
2
; y0+
(Z Z0)
2i
) =
C0+ C0
2
+
X
n=1

Cn
2
(Z Z0)n

=
C0
2
+f (z)
y como:
(Z0) + Z0
2
= x0 +
(Z) Z0
2
;
(Z0) Z0
2i
= y0 +
(Z) Z0
2i
ENTONCES
f (z) = 2U

Z + Z0
2
;
Z Z02i

C0:::::(1)
Finalmente, como Re(i(f(Z)) = v(x; y) y (i(f(Z0)) = iC0 entonces
1
if (z) = 2v

Z + Z0
2
;
Z Z0
2i

(iC0) = 2v

Z + Z0
2
;
Z Z0
2i

i(C0)
Con loque multiplicando por i :
f(z) = 2vi

Z + Z0
2
;
Z Z0
2i

+ (C0):::::::::::::::::(2)
Suponemos que Z0 = 0 (pues puede ser nula)
(1) y (2) obtenemos
f(z) = 2u

(Z)
2
+
(Z)2i

C0
f(z) = 2iv

(Z)
2
+
(Z)
2i

+ C0
Acomodando los factores
f(z) = 2u

(Z)
2
+
i(Z)
2

+ constante
f(z) = 2iv

(Z)
2
+
i(Z)
2

+ constante
2