problema de maximos y minimos





Nombre
Matricula
Víctor Manuel Tejada López
13001562


Nombre del Curso
Asesor
Calculo Diferencial
Noé Alejandro Ojeda Aguirre


Modulo 3
Actividad 2
Derivadas Implícitas y análisis de funciones
Optimización de funciones


Tarea
Problemas de máximos y mínimos actividad colaborativa



Actividad colaborativa
1.- Se quiere cercar un terreno rectangular en trespartes iguales, utilizando dos cercas paralelas, como se muestra en la figura. Si el área del terreno es de 6,000m2. Encuentra las dimensiones del terreno que requiere la menor cantidad de cerca.



Crear un modelo que represente la situación que queremos analizar.
x x x

yy y y
x x x
El área es de forma rectangular y esta definida por la ecuación:

; ;

Dividimos en tres partes iguales el terreno, es decir, cada terreno tendrá un área de 2000m2, por lo tanto tendremos que sacar las dimensiones de un terreno. Ycomo se va a cercar, tendremos que realizar la fórmula del perímetro para los tres terrenos, por lo cual se empieza por colocar las letras x,y .


Se procede a utilizar el área de un terreno y se despeja y, para que el perímetro quede en función de y:




Se toma la formula de perímetro y se coloca en función de x:


Esta ecuación representa el modelo matemático que utilizaremos parala solución del problema:

Encontrar el valor de que minimiza el valor de la función, para lo cual necesitamos derivar e igualar a cero la función.








En este caso utilizamos solo el valor positivo, ya que el valor negativo esta fuera del intervalo de solución y es ilógico que existan perímetros negativos.
Utilizando el criterio de la primera derivada evaluamos el valor de ,para saber si es un máximo o un mínimo.
Pendiente de la función antes del punto crítico:



La pendiente es negativa
Pendiente de la función después del punto crítico:



La pendiente es positiva
Esto quiere decir que la función es decreciente antes de , y creciente después de por lo que concluimos que cuando , el perímetro de un terreno es mínima.
Estas dimensiones cumplen con lacondición:

Sustituimos en

Los 2 números con los que se obtiene el menor perímetro son:








El perímetro mínimo es
Pero como nos pide las dimensiones de los 3 terrenos (cada uno mide 2000 m ²)
, debemos de sacar la base, que en este caso sería y la altura que seria :

Las dimensiones totales del terreno serían:









Se anexa grafica como manerade comprobación:

2.- La ganancia que una empresa obtiene al producir “x” número de piezas automotrices puede calcularse mediante la diferencia de dos funciones:

Si la función de las ventas está dada por la función y la función del costo por la ecuación . Calcular el número de piezas deben producirse para maximizar las ganancias.Sustituimos las ecuaciones, para encontrar que x produce el valor máximo.



Reducimos términos semejantes

Aplicamos el concepto de máximo de una función, para lo cual derivamos e igualamos a cero la función de ganancia







Evaluamos la pendiente de la función antes del punto crítico:




Evaluamos la pendiente de la función después del punto crítico:




Lafunción es creciente antes de , y decreciente después de , por lo que se concluye que cuando , las ganancias son máximas, por lo tanto el número de piezas que se deben de producir para maximizar las ganancias es 32 piezas.
Se anexa grafica de Ganancias


3.-Se quiere cercar y dividir un terreno rectangular en tres partes iguales, utilizando dos cercas paralelas, como se muestra en la figura....