Problema de optimización sobre utilidad

INFORME

PROBLEMA DE
OPTIMIZACIÓN



ÍNDICE
Contenido
INTRODUCCIÓN 3
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN 4
SOLUCIÓN 4
1. Utilidad total U(x) 4
2. Utilidad máxima 4
2.1. Valor crítico 5
2.2. Monotonía 5
2.3. Valores Extremos 6
2.4. Interpretación 6
GRÁFICO 6
1. Criterio de la 2ª Derivada 6
2. Concavidad 6
3. Intersección con eje X e Y 7
CONCLUSIÓN 9

INTRODUCCIÓNEn el presente informe se resolverá e interpretará soluciones de problemas de enunciado, específicamente de optimización, el cual se irá realizando paso a paso, para finalmente confeccionar el Gráfico de la función procedente del enunciado.
Si bien es un problema de optimización donde la información que se necesita para dar la solución a éste es la mínima (valores críticos, monotonía y valoresextremos), es fundamental recaudar toda la información pertinente para hacer el esbozo, tal como es el criterio de la segunda derivada, la concavidad, entre otros.

PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

La compañía CANAFA Ltda. Fábrica lentes a un costo de $700 cada una. El departamento de Contabilidad calcula que si el precio de ventas es de x pesos la unidad, los vendedores podrán ubicar en el mercado(1.000-x) lentes por día. Con base en esta información, el Director del Departamento de Marketing necesita calcular:

1. La utilidad total U(x)
2. El precio por unidad que permite lograr una utilidad máxima.
SOLUCIÓN

Primeramente hay que obtener las ecuaciones de ingreso y costo para luego llegar a la ecuación principal que en este caso es la de Utilidad, ya que la Utilidad es igual alos Ingresos menos los Costos.

I(x)= ingreso total C(x)= costo total
= (N° de unidades)*(precio por unidad) = (N° de unidades)*(Costo por unidad)
= 1.000-x*x = 1.000-x*(700)

1. Utilidad total U(x)

* Con estos datos se puede proceder a confeccionar la ecuación de Utilidad [U(x)], la cual queda:

U(x)= Utilidad total
= I(x)-C(x)
= 1.000-xx-1.000-x700= 1.000x-x2-700.000+700x
= -x2+1.700x-700.000
2. Utilidad máxima

* Una vez obtenida la ecuación de utilidad total se procede a calcular el precio por unidad que permite llegar a la Utilidad Máxima:

3.1. Valor crítico

* Para determinar el máximo valor de U(x) hallamos primero la derivada de U(x):

U’(x)= -2x+1.700

* Luego, igualamos la derivada a ceropara encontrar el valor crítico, que en este tipo de problemas es un posible máximo o mínimo.

U’(x)=0
-2x+1.700=0
-2x=-1.700 / *(-1)
x= 1.7002
x=850 (Posible máximo o mínimo)

3.2. Monotonía

* Posteriormente se evalúa el valor crítico encontrado en U`(x) para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y así verificar si existe un máximo o un mínimo.- ∞ 850 +∞
U`(0)= -2(0) + 1.700 = 1.700 > 0
U`(890) = -2(890) + 1700 = -80 < 0

+ -


U`(x)>0 en ]-∞, 850[, entonces,
U es creciente en ]-∞, 850[

U`(x)<0 en ]850, +∞[ entonces,
U es decreciente en ]850, +∞[


* A simple vista se puede apreciar que hay un máximo en x = 850, y así lo demuestra el estudiorealizado de la Monotonía.

3.3. Valores Extremos

* Ahora se procede a evaluar el valor crítico encontrado en la función U(x) para encontrar el valor máximo.

U(x)= -x2+1.700x-700.000
U(850)= -(850)2+1.700850-700.000
U(850)= 22.500.

La imagen de x=850 es igual a 22.500, esto quiere decir que en el punto (850 , 22.500) hay un máximo

3.4. Interpretación

* Contodos los datos obtenidos y contextualizándolos al problema, se puede afirmar que con un precio de 850 pesos por unidad se garantizará una utilidad máxima de 22.500 pesos por día.
GRÁFICO
Para confeccionar el gráfico, aparte de los datos antes obtenidos, se requiere otra información adicional a la antes mencionada para la eficaz confección del esbozo de la función.
1. Criterio de la 2ª...